creasson 发表于 2013-12-27 22:55
计算了下，1万位小数点精度下仍没出现异常 ，难道 椭圆竟有如此复杂的参数形式？
超越性还是可以理解的:这里是两个超越函数的差是初等函数.只是表达式过于复杂，直接计算很难证明。如果转化为微分形式，就没有超越函数了，但是计算复杂度还是很大，但是通过102#的结论就可以几何方法证明了。
其实几何里面很多几何方法得到的定理都很难通过计算来证明。
mathe 发表于 2013-12-28 08:55
超越性还是可以理解的:这里是两个超越函数的差是初等函数.只是表达式过于复杂，直接计算很难证明。如果转化 ...
这个 初等函数 还是分段函数.
证明是一方面. 椭圆轨迹的显式表达又是另一个问题. 这个椭圆的轨迹,竟然没有简洁的表达.
从一般情形考虑来说最简洁的表达就是：
P({acos(t_1)}/cos(t_2),{bsin(t_1)}/cos(t_2))
L=int_{t_1-t_2}^{t_1+t_2}sqrt(a^2sin(t)^2+b^2cos(t)^2)dx -tan(t_2)(sqrt(a^2sin(t_1+t_2)^2+b^2cos(t_1+t_2)^2)+sqrt(a^2sin(t_1-t_2)^2+b^2cos(t_1-t_2)^2))
或者：P(x,y)
t_1=arctan({bx}/{ay}),t_2=arccos(1/sqrt(x^2/a^2+y^2/b^2))
L=int_{t_1-t_2}^{t_1+t_2}sqrt(a^2sin(t)^2+b^2cos(t)^2)dx -tan(t_2)(sqrt(a^2sin(t_1+t_2)^2+b^2cos(t_1+t_2)^2)+sqrt(a^2sin(t_1-t_2)^2+b^2cos(t_1-t_2)^2))
若纯粹从计算和形式上来说： （下面取顶点得到的形式最简洁）
对于给定的内椭圆x^2/m^2+y^2/n^2=1,及绳长L
可以由下式计算得到a,b值，即P点的轨迹x^2/a^2+y^2/b^2=1
L=int_0^(2*pi)m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx -2*int_0^(arccos(m/a))m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx+(2*b*sqrt(a^2-m^2))/a
m^2-n^2=a^2-b^2
注：如果在二次微分方程中仍无法验证的话，则多方程再求一次导转至三次方程中验证，三次微分方程已能消去三个常量a,b,L,相信已是足够的了.
上步做复杂了，将倒数第二式u^2表达式代入倒数第一式,证明它是一个椭圆积分恒等式即可，由第二椭圆积分的恒等关系似乎已显然.
关于此定理的出处，终于找到了（里面的内容太精彩了，值得大家好好品读）
http://202.102.94.31/9/ishare.down.sina.com.cn/15022649.pdf?ssig=H6FNhXwNww&Expires=1388419200&KID=sina,ishare&fn=Geometry+II+4th+Printing_Marcel+Berger+%28Springer+2009+415s%29.pdf&corp=1
可以直接下载
关于椭圆内接N边形的最大周长问题也有描述
链接下载不了