90# hujunhua
昨晚上睡觉前，发现在 n=k-1 的最优图案的基础上 构造 n=k的最优图案是可行的，且比较方便，
需要考虑的情况并不复杂，粗略分析大致就是三角数 。
有时间我写个程序， 很自信能打破很多记录。
91# wayne
我的思路：
将n*n 划分4个区域，其中2个区域是正方形，填充以最优的图案，另2个长方形区域是备用的。当存在跨区域的正方形时，就在长方形区域里去掉相应的点，以破坏 这种跨区域正方形的存在性。
因为跨区域的正方形不会很多的，所以在长方形区域补充的红色点也不会很多，最终得到的图案应该很优。
比如，将 n=10 ，划分成 8*8 , 2*2两个正方形区域和 2*8的两个长方形区域。
对8*8 , 2*2的两个正方形区域填充以最优图案， 然后使用贪心策略 对长方形区域填充红色点。
不知是否可行？
这个思路或许可以得到不等式
a(m+n)>a(m)+a(n)
由这个不等式则可以得到 a(n)>O(n)。
这个结果很弱。 为了得到更强的结果，或许需要将问题扩展为m×n矩形点阵，看看是否成立不等式
a(m+n, m+n)≥a(m, m)+a(m, n)+a(n, n)或者等式
考虑到二次型m^2+mn+n^2与\sqrt3的关系，如果上述不等式能成为等式，就可将数列a(n,n)与A194082扯上关系
93# hujunhua
:b: ， 是哈，
将问题扩展为m×n矩形点阵 应该更利于展开讨论。
针对较小的n，m，我们不妨 先用程序算出 a(n,n),a(m,m),a(n,m)，
然后再算出a(n,m) 验证一下 这个不等式的强弱性。
很热闹。
接$83#$:
通过更长时间地运行程序，继续在$n=12$、$13$、$14$、$15$、$16$上取得了突破。
目前的结果如下：
$n=9$：
https://bbs.emath.ac.cn/data/attachment/forum/month_1206/1206111900bf71e10b27836a56.png
$n=10$：
https://bbs.emath.ac.cn/data/attachment/forum/month_1206/1206111900397b323f09614df9.png
$n=11$：
https://bbs.emath.ac.cn/data/attachment/forum/month_1206/1206111900ead28faedee3b43f.png
$n=12$：
$n=13$：
$n=14$：
$n=15$：
$n=16$：
另外，$n=7$的所有方案已经枚举完，结果为$27$，否定了该数列是三角形数的猜想。
A194082是一个上界，目前的结果并没有达到。
在$83#$之前，$n=0$到$n=8$的结果与$A194082$一致。
而$83#$的结果在$n=9$也与$A194082$一致了，但是在$n=10$以上还不一样（比$A194082$小）。
目前的结果表明A194082这个上界太松了，可能存在一个比A194082更紧的上界。 KeyTo9_Fans 发表于 2012-6-11 21:39 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
每前进一步都要付出巨大的努力，而在n=11离$A194082$还差3步（鸿沟啊！），感觉在n=11时能脱离$A194082$。
{1, 6, 20, 50, 105, 196, 336, 540}
http://oeis.org/A002415
一个很笨的但是有效的程序：
Table[Length@
Select[Select[
Select[Sort /@
Subsets[Flatten,
1], {4}], #[] + #[ ...
wayne 发表于 2012-5-29 14:13 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
我被彻底搞晕了,嵌套这么多层!!!!!!!!!
而且一点注释都没有,缩进也不对齐.
反正我遇到这样的程序都就疼.
不过我服了wayne居然嵌套了那么多层还没头晕
n=16时：
一些OEIS数列，计算更多的项需要付出相当的努力。
我正在作一个计算，计算完成后，可得到OEIS A002071 (http://oeis.org/A002071)的前40项。
这个计算过程的目的是找出所有符合如下条件的数n
1) n是一个 173 smooth number,
2) n+1 也是一个173 smooth number。
173 smooth number 指这样的数，它的所有素因子不大于173.
关于smooth number,请参阅http://en.wikipedia.org/wiki/Smooth_numbers
关于consecutive pairs of p-smooth numbers及其计算方法，请参阅http://en.wikipedia.org/wiki/St%C3%B8rmer%27s_theorem
173是第40个素数，若$P_k$表示第k个素数，则求consecutive pairs of $P_k$-smooth numbers需要解 $2^k$个pell方程，因此，我的这个计算需要求解 $2^40$ $~~$ 1万亿个pell方程，在一个2.2G的双核电脑，大约需要8个月，我动用了多台电脑，预计可在2个月内完成。