格点正方形，可否发现一个新数列？

wayne

90# hujunhua 昨晚上睡觉前，发现在 n=k-1 的最优图案的基础上 构造 n=k的最优图案是可行的，且比较方便， 需要考虑的情况并不复杂，粗略分析大致就是三角数 。 有时间我写个程序， 很自信能打破很多记录。

wayne

91# wayne 我的思路： 将n*n 划分4个区域，其中2个区域是正方形，填充以最优的图案，另2个长方形区域是备用的。当存在跨区域的正方形时，就在长方形区域里去掉相应的点，以破坏 这种跨区域正方形的存在性。 因为跨区域的正方形不会很多的，所以在长方形区域补充的红色点也不会很多，最终得到的图案应该很优。 比如，将 n=10 ，划分成 8*8 , 2*2两个正方形区域和 2*8的两个长方形区域。 对8*8 , 2*2的两个正方形区域填充以最优图案， 然后使用贪心策略 对长方形区域填充红色点。 不知是否可行？

hujunhua

这个思路或许可以得到不等式 a(m+n)>a(m)+a(n) 由这个不等式则可以得到 a(n)>O(n)。 这个结果很弱。 为了得到更强的结果，或许需要将问题扩展为m×n矩形点阵，看看是否成立不等式 a(m+n, m+n)≥a(m, m)+a(m, n)+a(n, n)或者等式 考虑到二次型$m^2+mn+n^2$与$\sqrt3$的关系，如果上述不等式能成为等式，就可将数列a(n,n)与A194082扯上关系

wayne

93# hujunhua ， 是哈， 将问题扩展为m×n矩形点阵 应该更利于展开讨论。 针对较小的n，m，我们不妨 先用程序算出 a(n,n),a(m,m),a(n,m)， 然后再算出a(n,m) 验证一下 这个不等式的强弱性。

winxos

很热闹。

KeyTo9_Fans

接$83#$: 通过更长时间地运行程序，继续在$n=12$、$13$、$14$、$15$、$16$上取得了突破。 目前的结果如下： $n=9$： $n=10$： $n=11$： $n=12$： $n=13$： $n=14$： $n=15$： $n=16$： 另外，$n=7$的所有方案已经枚举完，结果为$27$，否定了该数列是三角形数的猜想。

hujunhua

A194082是一个上界，目前的结果并没有达到。 在$83#$之前，$n=0$到$n=8$的结果与$A194082$一致。 而$83#$的结果在$n=9$也与$A194082$一致了，但是在$n=10$以上还不一样（比$A194082$小）。 目前的结果表明A194082这个上界太松了，可能存在一个比A194082更紧的上界。 KeyTo9_Fans 发表于 2012-6-11 21:39

每前进一步都要付出巨大的努力，而在n=11离$A194082$还差3步（鸿沟啊！），感觉在n=11时能脱离$A194082$。

mathematica

{1, 6, 20, 50, 105, 196, 336, 540} http://oeis.org/A002415 一个很笨的但是有效的程序： Table[Length@ Select[Select[ Select[Sort /@ Subsets[Flatten, 1], {4}], #[[2]] + #[[3] ... wayne 发表于 2012-5-29 14:13

我被彻底搞晕了,嵌套这么多层!!!!!!!!! 而且一点注释都没有,缩进也不对齐. 反正我遇到这样的程序都就疼. 不过我服了wayne居然嵌套了那么多层还没头晕

hujunhua

n=16时：

liangbch

一些OEIS数列，计算更多的项需要付出相当的努力。 我正在作一个计算，计算完成后，可得到OEIS A002071 (http://oeis.org/A002071)的前40项。 这个计算过程的目的是找出所有符合如下条件的数n 1) n是一个 173 smooth number, 2) n+1 也是一个173 smooth number。 173 smooth number 指这样的数，它的所有素因子不大于173. 关于smooth number,请参阅http://en.wikipedia.org/wiki/Smooth_numbers 关于consecutive pairs of p-smooth numbers及其计算方法，请参阅http://en.wikipedia.org/wiki/St%C3%B8rmer%27s_theorem 173是第40个素数，若$P_k$表示第k个素数，则求consecutive pairs of $P_k$-smooth numbers需要解 $2^k$个pell方程，因此，我的这个计算需要求解 $2^40$ $~~$ 1万亿个pell方程，在一个2.2G的双核电脑，大约需要8个月，我动用了多台电脑，预计可在2个月内完成。