格点正方形，可否发现一个新数列？

wayne

37# hujunhua
可以拿这个代码验证一下公式。

1. 
   
2. n = 7; d = Flatten[Table[{i, j}, {i, 0, n}, {j, 0, n}], 1];
   
3. Graphics[{PointSize[0.1], Point /@ d,
   
4.   Inset[Text[Style[#[[2]], White, 20]], #[[1]]] & /@
   
5.    Tally[Flatten[
   
6.      Select[Select[
   
7.        Select[Subsets[d, {4}], #[[2]] + #[[3]] == #[[1]] + #[[4]] &],
   
8.        Norm[{#[[1]] - #[[2]]}] == Norm[{#[[2]] - #[[4]]}] &],
   
9.       Dot[#[[1]] - #[[3]], #[[2]] - #[[1]]] == 0 &], 1]]}]

复制代码

wayne

来一个n=5的图案：

hujunhua

这两天又是迎接外部检查，又是办公室搬家（这俩借口还行吧），实在没时间给出建设性的东西，便萌生出“窃图”的“邪念”。所谓窃图，就是以wayne发表的图为基础，略加变化，构造一个符合要求的新图。为了快速得手（安全第一嘛 ），我只选取那些只需要改变一个红点的位置就能成功的图下手。这样的图中这样的红点(以下称为A)，独立地破坏的正方形仅仅一个。所谓独立地破坏的正方形，即其它3个顶点（以下称为BCD）都是黑点。由于其它的正方形都有其它红点去破坏，所以剩下的ABCD中任何一点涂红都可以破坏ABCD，于是我就由wayne的一个图衍生出3个图来。
窃图是有功夫成本的，就是要逐个检查A在哪里。
21#的那个图，点A为(4, 1)

hujunhua

上楼窃得的图与原图区别太小，容易被发现和检举，为了掩盖“偷窃”痕迹，偶检查窃得的图上是否由于一点改变产生了新的独立破坏者，若有就故技重演，再来个移星换斗。
例如，将上图的B与A交换后就产生了2个新的独立破坏者，见下图的白A和蓝A

hujunhua

wayne的图凡我“踩过点”的，还没有发现不能偷的。

wayne

45# hujunhua

很有建设性。
很好玩。
==========
按理画出来的图形 每一个点都是 物尽其用，恨不得都是一个顶俩。
却总存在  “能独立地破坏的正方形仅仅只有一个” 的红点，甚怪啊。

KeyTo9_Fans

很遗憾，我的猜想很可能是不成立的。

留下的点数最多只有$O(n^1.7)$左右，所占比例的极限为$0$。

参考数据（当$n>6$时还有待优化）：

$0$：$0$
$1$：$1$
$2$：$3$
$3$：$6$
$4$：$10$
$5$：$15$
$6$：$21$
$7$：$27$
$8$：$34$
$9$：$41$
$10$：$49$
$11$：$57$
$12$：$66$
$13$：$75$
$14$：$84$

参考数列：

http://oeis.org/A194082

如果留下的点数不是$A194082$，就很可能是一个新数列了。

hujunhua

16#已经让我吃了定心丸，这个有点意外呀。
“当n>6时还有待优化”，是不是说你在n=7以后的程序与n=1~6的有所不同？n=1~6时，得到的结果是确数，而n=7以后的结果不是确数？

KeyTo9_Fans

当$n>6$时，使尽十八般武器，也就得到$47#$的结果了。

根据范德瓦尔登定理，当$n$很大的时候，留下$O(n^2)$个点是不可能的。

所以宣告$16#$的猜想不成立，恭喜楼主发现新数列

hujunhua

根据范德瓦尔登定理，当$n$很大的时候，留下$O(n^2)$个点是不可能的。KeyTo9_Fans 发表于 2012-6-3 12:45

没想明白其中的道道。诚如是，这个“新数列”就不可能得到多项式通项了，喜讯以打击乐形式出现，打击有点大呀！