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楼主: hujunhua

[提问] 格点正方形,可否发现一个新数列?

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发表于 2012-6-1 11:19:23 | 显示全部楼层
37# hujunhua
可以拿这个代码验证一下公式。

  1. n = 7; d = Flatten[Table[{i, j}, {i, 0, n}, {j, 0, n}], 1];
  2. Graphics[{PointSize[0.1], Point /@ d,
  3.   Inset[Text[Style[#[[2]], White, 20]], #[[1]]] & /@
  4.    Tally[Flatten[
  5.      Select[Select[
  6.        Select[Subsets[d, {4}], #[[2]] + #[[3]] == #[[1]] + #[[4]] &],
  7.        Norm[{#[[1]] - #[[2]]}] == Norm[{#[[2]] - #[[4]]}] &],
  8.       Dot[#[[1]] - #[[3]], #[[2]] - #[[1]]] == 0 &], 1]]}]
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10.png

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hujunhua + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 给力的程序,但其中n=7跟图不一致

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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2012-6-1 16:04:12 | 显示全部楼层
来一个n=5的图案:
search.png
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 楼主| 发表于 2012-6-1 23:51:34 | 显示全部楼层

窃图技术

这两天又是迎接外部检查,又是办公室搬家(这俩借口还行吧),实在没时间给出建设性的东西,便萌生出“窃图”的“邪念”。所谓窃图,就是以wayne发表的图为基础,略加变化,构造一个符合要求的新图。为了快速得手(安全第一嘛 ),我只选取那些只需要改变一个红点的位置就能成功的图下手。这样的图中这样的红点(以下称为A),独立地破坏的正方形仅仅一个。所谓独立地破坏的正方形,即其它3个顶点(以下称为BCD)都是黑点。由于其它的正方形都有其它红点去破坏,所以剩下的ABCD中任何一点涂红都可以破坏ABCD,于是我就由wayne的一个图衍生出3个图来。
窃图是有功夫成本的,就是要逐个检查A在哪里。
21#的那个图,点A为(4, 1)
无标题.png
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 楼主| 发表于 2012-6-2 00:24:42 | 显示全部楼层

掩盖“偷窃”痕迹

上楼窃得的图与原图区别太小,容易被发现和检举,为了掩盖“偷窃”痕迹,偶检查窃得的图上是否由于一点改变产生了新的独立破坏者,若有就故技重演,再来个移星换斗。
例如,将上图的B与A交换后就产生了2个新的独立破坏者,见下图的白A和蓝A
无标题.png
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 楼主| 发表于 2012-6-2 00:28:10 | 显示全部楼层
wayne的图凡我“踩过点”的,还没有发现不能偷的。
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发表于 2012-6-2 09:11:39 | 显示全部楼层
45# hujunhua

很有建设性。
很好玩。
==========
按理画出来的图形 每一个点都是 物尽其用,恨不得都是一个顶俩。
却总存在  “能独立地破坏的正方形仅仅只有一个” 的红点,甚怪啊。
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发表于 2012-6-2 19:41:45 | 显示全部楼层
很遗憾,我的猜想很可能是不成立的。

留下的点数最多只有$O(n^1.7)$左右,所占比例的极限为$0$。

参考数据(当$n>6$时还有待优化):

$0$:$0$
$1$:$1$
$2$:$3$
$3$:$6$
$4$:$10$
$5$:$15$
$6$:$21$
$7$:$27$
$8$:$34$
$9$:$41$
$10$:$49$
$11$:$57$
$12$:$66$
$13$:$75$
$14$:$84$

参考数列:

http://oeis.org/A194082

如果留下的点数不是$A194082$,就很可能是一个新数列了。

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hujunhua + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 用尽18般武器,来之不易

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 楼主| 发表于 2012-6-3 00:16:45 | 显示全部楼层
16#已经让我吃了定心丸,这个有点意外呀。
“当n>6时还有待优化”,是不是说你在n=7以后的程序与n=1~6的有所不同?n=1~6时,得到的结果是确数,而n=7以后的结果不是确数?
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发表于 2012-6-3 12:45:45 | 显示全部楼层
当$n>6$时,使尽十八般武器,也就得到$47#$的结果了。

根据范德瓦尔登定理,当$n$很大的时候,留下$O(n^2)$个点是不可能的。

所以宣告$16#$的猜想不成立,恭喜楼主发现新数列
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 楼主| 发表于 2012-6-3 16:28:36 | 显示全部楼层
根据范德瓦尔登定理,当$n$很大的时候,留下$O(n^2)$个点是不可能的。KeyTo9_Fans 发表于 2012-6-3 12:45

没想明白其中的道道。诚如是,这个“新数列”就不可能得到多项式通项了,喜讯以打击乐形式出现,打击有点大呀!
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