格点正方形，可否发现一个新数列？

wayne

17# wayne
这m个点的分布还是很有讲究的。
调整了好几次，终于得到了n=4 的图案：
红色的点表示需要抹掉的。

hujunhua

对17#wayne的证明没看懂，感觉不充分啊，诸Class m间是有相交顶点的啊。

hujunhua

16#KeyTo9-Fans的结果是程序计算结果吗，最后又怎么断言结果就是A000217呢，就凭前5项，还是有推理？

gxqcn

21# wayne


在图中尝试寻觅同色顶点正方形，当然是无果啦。

这让我想到小时候在林场里，晚上搬个小板凳到院子里，仰望星空，
我会尝试在天上找亮度相当的几个星，看它们是否可构成正三角形或正方形，
结果是：星星很多，但符合要求的组合很少（记忆中好像是不存在吧）。
现在在城里，到处是灯光，天空又那么狭小，“星空”只在记忆中。

KeyTo9_Fans

$16#$是程序计算的结果。

我是凭着前$5$项以较高的把握猜测的。

有把握的主要原因是发现了相邻$2$个三角形数的和恰好是完全平方数。

因此乐观地认为此题的结果如此漂亮。

#####

如果不是，你就发现了一个新数列啦。

所以猜对猜错都有收获，放心大胆猜就是啦。

hujunhua

假设16#的猜测（我还不能肯定17#的证明）是正确的，那么留下的点比抹掉的点多（以下按21#分别称为黑色点和红色点），所以红色点中也找不到正方形的可能性是很大的。涂色方案有很多，应该至少有一种，不存在红正方形。
会不会，所有涂色方案都不存在红色正方形？

wayne

22# hujunhua

这个是我构造图案的思路，是不能作为证明的。
只因当时看到fans的猜想，就多写了后面的求和这一步，
于是帖子的性质一下子升级为证明了。
纵然可以作为证明，也需要先证明一个猜想，
但在我构造n=4的时候，发现那个猜想不对。
本来想删去，忙去了就忘了。

由于各个class有相交顶点，且都在xy(x-m)(y-m)=0 上的。如果实际操作的时候，我们都安排在(x-m)(y-m)=0 上， 反复利用class的概念做 适当调整，能很快的找到可行的图案。

wayne

24# gxqcn
我是在 构造 没有同色顶点正方形 的图案~~

gxqcn

21# wayne

楼主强调的是$nxxn$的“方格点阵”，且需考虑“斜置正方形”，
为避免大家误会，特将你的图形中的格线去掉，如下（此时的$n=5$）：

hujunhua

26#想法从上图就否定了，上图中有红色正方形。