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[提问] 格点正方形,可否发现一个新数列?

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发表于 2012-5-28 23:44:39 | 显示全部楼层 |阅读模式

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一个$nxxn$的方格点阵,大大小小的正方形可以数出多少个来?
精华
若要把这些正方形破坏得一个不剩,至少需要从中抹去多少个点?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2012-5-29 06:11:16 | 显示全部楼层
n=5,我就乱了脑子了。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2012-5-29 09:14:11 | 显示全部楼层
这道题有点意思。。。

评分

参与人数 1经验 +4 收起 理由
hujunhua + 4 嗯,本想发到趣妙解的,只是我手头没解,所 ...

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2012-5-29 10:59:35 | 显示全部楼层
1# hujunhua
第一问简单。
1^2+2^2+3^2+....+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
第二问需要再想想
n=1    1
n=2    2
n=3    4
n=4   8(也许有更小的)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2012-5-29 11:56:04 | 显示全部楼层
2# geslon
我第四个就乱了。
能否给出图形?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2012-5-29 13:05:21 | 显示全部楼层
4# wayne
不正确。
别忽视了斜置正方形。


另外,wayne的 n 是边长,我说的 n 原是边上的点数。 后面就依wayne的吧。不知道2#的 5 是点数还是边长。
n=1, 1, 1
n=2, 6, 3
n=3, 20, ?
n=4,50, ?
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发表于 2012-5-29 13:19:53 | 显示全部楼层
6# hujunhua
额, 还考虑斜置,凭手算的话,几乎不可能的了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2012-5-29 13:31:10 | 显示全部楼层
第1问是${n(n+1)^2(n+2)}/12$
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 楼主| 发表于 2012-5-29 13:39:17 | 显示全部楼层
搜到了
A002415
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2012-5-29 14:13:14 | 显示全部楼层
{1, 6, 20, 50, 105, 196, 336, 540}
http://oeis.org/A002415
一个很笨的但是有效的程序:

  1. Table[Length@
  2.   Select[Select[
  3.     Select[Sort /@
  4.       Subsets[Flatten[Table[{i, j}, {i, 0, n}, {j, 0, n}],
  5.         1], {4}], #[[2]] + #[[3]] == #[[1]] + #[[4]] &],
  6.     Norm[{#[[1]] - #[[2]]}] == Norm[{#[[2]] - #[[4]]}] &],
  7.    Dot[#[[1]] - #[[3]], #[[2]] - #[[1]]] == 0 &], {n, 6}]

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