继续问小学题
又把我难住了,求助已知小立方体长宽高为8,9,12,装到一个正方体盒子中,盒子无空隙。求正方体最小为多大?
稍微减弱一些:用a*b的矩形,装满一个正方形,a,b为整数,问正方形最小多大? 既然是小学嘛,又没学过证明思想,求最小公倍数就行了。 构造起来是挺麻烦的。
还不知道72是不是可行的呢。 72当然可行,没什么可麻烦的。
尺寸8的方向码9个,得72*9*12的组合块,然后将此组合块在尺寸9的方向码8个,得尺寸72*72*12的组合块,最后在尺寸12的方向码6个,得72*72*72的立方体。 问题在于,不当小学题来做,就有麻烦。如何证明其它杂乱码法就不能得到更小的正方体? 5# hujunhua
叫他们解方程: 8x+9y+12z =a
:lol
已知小立方体长宽高为8,9,12,装到一个正方体盒子中,盒子无空隙。求正方体最小为多大?
稍微减弱一些:用a*b的矩形,装满一个正方形,a,b为整数,问正方形最小多大?
shshsh_0510 发表于 2012-6-25 11:40 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
我对此问题很感兴趣,不知楼主对问题解法有何看法?
就减弱一些的平面问题,我分析了很长时间,好像最小正方形的边长就该是a,b的最小公倍数了,因为想尽各种方法,也找不到一个反例使最小正方形的边长小于a,b的最小公倍数。但要严格证明这一论断好像是很难的,难度甚至超过证明哥德巴赫猜想。 假设用n个小立方体可以组成边长为a的正方体,
则8*9*12*n=a*a*a
所以a=12b,其中a,b,n都是自然数。这是体积条件
边长条件:
这个比较复杂,晚上再搞,呵呵 挺复杂。先把那个比哥德巴赫猜想难的搞定,呵呵,玩笑。
为了简化描述,不妨设定a,b互质且大于1,b>a.图形中b边在x轴方向称之为横放的矩形,否则称之为竖放的矩形。
从正方形某一边看过去的图形如图所示。正方形边长为length。假设length<a,b的最小公倍数。
假设阴影部分的长度为b*x=a*y+b*z,x为正整数,y,z为自然数,
则b*(x-z)=a*y
因为a,b互质,所以y=0或y为b的倍数。如果y为b的倍数,则阴影部分长度大于等于a,b最小公倍数。
由此证明,阴影部分还是由x个横放的矩形组成。
即,当正方形边长小于a,b公约数时,所有横放的矩形下面必为横放的矩形,竖放的矩形下面必为竖放的矩形。
所以有length=a*m=b*n>=a,b的最小公倍数。 一个有趣的结论:有些矩形,比如长为pi,宽为一的矩形,永远没办法拼出一个严密的正方形。