继续问小学题

shshsh_0510

又把我难住了，求助

已知小立方体长宽高为8,9,12,装到一个正方体盒子中，盒子无空隙。求正方体最小为多大？

稍微减弱一些：用a*b的矩形，装满一个正方形，a,b为整数，问正方形最小多大？

hujunhua

既然是小学嘛，又没学过证明思想，求最小公倍数就行了。

wayne

构造起来是挺麻烦的。
还不知道72是不是可行的呢。

hujunhua

72当然可行，没什么可麻烦的。
尺寸8的方向码9个，得72*9*12的组合块，然后将此组合块在尺寸9的方向码8个，得尺寸72*72*12的组合块，最后在尺寸12的方向码6个，得72*72*72的立方体。

hujunhua

问题在于，不当小学题来做，就有麻烦。如何证明其它杂乱码法就不能得到更小的正方体？

wayne

5# hujunhua
叫他们解方程： 8x+9y+12z =a

AAAAA

已知小立方体长宽高为8,9,12,装到一个正方体盒子中，盒子无空隙。求正方体最小为多大？

稍微减弱一些：用a*b的矩形，装满一个正方形，a,b为整数，问正方形最小多大？
shshsh_0510 发表于 2012-6-25 11:40

我对此问题很感兴趣，不知楼主对问题解法有何看法？
就减弱一些的平面问题，我分析了很长时间，好像最小正方形的边长就该是a，b的最小公倍数了，因为想尽各种方法，也找不到一个反例使最小正方形的边长小于a，b的最小公倍数。但要严格证明这一论断好像是很难的，难度甚至超过证明哥德巴赫猜想。

nnd

假设用n个小立方体可以组成边长为a的正方体，
则8*9*12*n=a*a*a
所以a=12b，其中a，b，n都是自然数。这是体积条件

边长条件：
这个比较复杂，晚上再搞，呵呵

nnd

挺复杂。先把那个比哥德巴赫猜想难的搞定，呵呵，玩笑。



为了简化描述，不妨设定a，b互质且大于1，b>a.图形中b边在x轴方向称之为横放的矩形，否则称之为竖放的矩形。

从正方形某一边看过去的图形如图所示。正方形边长为length。假设length<a,b的最小公倍数。

假设阴影部分的长度为b*x=a*y+b*z，x为正整数，y，z为自然数，
则b*（x-z）=a*y
因为a，b互质，所以y=0或y为b的倍数。如果y为b的倍数，则阴影部分长度大于等于a，b最小公倍数。

由此证明，阴影部分还是由x个横放的矩形组成。

即，当正方形边长小于a，b公约数时，所有横放的矩形下面必为横放的矩形，竖放的矩形下面必为竖放的矩形。

所以有length=a*m=b*n>=a,b的最小公倍数。

nnd

一个有趣的结论：有些矩形，比如长为pi，宽为一的矩形，永远没办法拼出一个严密的正方形。