数学奥林匹克升级题
非常奇妙的题目http://tieba.baidu.com/f?kz=80322749:lol
我也转点难题，难为下你们
01-1． 李庄的每一位男孩所认识的所有女孩都彼此认识，而每一个女孩所认识的男孩都比她所认识的女孩多。证明：李庄的男孩不少于女孩。 109#解决]
01-2．数列1，9，8，2，…自第5项起，每一项都等于它前面四项之和的个位数。试问，是否在该数列中有连续的四项为3，0，4，4。 [众人于#79~#100基本解决]
01-3． 试画出一个图形，使得用它不能覆盖一个半径为1的半圆；但用两个这样的图形却可以覆盖一个半径为1的圆。 #7解决]
01-4． 在国际象棋棋盘上画圆，使圆周只经过黑色方格。试问，这种圆的半径最大可能为多少？ 78#解决]
01-5． 有一个插座，其边缘上均匀地分布着6个插孔；还有一个与之相应的插头。插座上的插洞被按某种方式编为1至6号，插头上的插栓也作了相应的编号。证明：可以把插头插入插座，使得所有插栓都不插在对号的插孔内。如果插孔和插栓的数目是7啦？#139解决]
01-6．一个图具有n个顶点，每个顶点的度数*不超过5。证明：可以把每个顶点都染为3个颜色之一，使得两个端点同色的边的数目不多于n/2。
*注： 度数，是又给定顶点所连出的边的数目，称为该顶点的度数
01-7． 宇宙空间中飞行着2005架航天飞机，每一架航天飞机上有一位天文学家。航天飞机之间的距离各不相等，每位天文学家都在观察离自己最近的另一架航天飞机。证明：至少有一架航天飞机无人观察。 135~138#解决]
01-8． （1）桌面上放着一些直径相同的硬币。证明：其中有的硬币至多与3枚其他硬币相切。（2）对于直径不尽相同的硬币，证明：有的硬币至多与5枚其他硬币相切。134#解决]
01-9． 若干条线段覆盖了区间。可以从这些线段中选出若干条互不相交的线段来，它们的长度之和不小于1/2。
01-10．眼花缭乱：正方形的各边9等分，过各分点及顶点在正方形内作另一边及两对角线的平行线，在这个图中有三角形和梯形的个数分别是多少？如果n等分它们的该数分别又是多少？
02-1。 能否将正方形分为若干个钝角三角形？#8解决]
02-2。如何将一个任意三角形分成三部分，使得可用他们拼成一个矩形？#5解决]
02-3。 黑板上写着1个1。每一秒钟都将黑板上的数增加上它的各位数字之和。试问，能否经过有限一端时间后，在黑板上出现数123456？ #3解决]
02-4。（1）试找出一个七位数，它的各位数字各不相同，它还可被自己的每一位数整除。 （2） 是否存在这样的八位数？9#解决]
02-5。求出19^100的各位数字之和，再求出所得之和得各位数字之和，并一直如此进行下去，直至得到一个一位数。该一位数是多少？#13解决]
02-6。 30把椅子排成一行，随时又人走过来坐在空椅上。但是每当又一个人坐下时，便有一个坐在他邻座上的人起身离开（只要他的邻座上原来有人）。试问，最多可以有多少把椅子上同时坐着人，如果：1） 原来30把椅子全是空的； 2）原来有10把椅子坐着人。
02-7。 给定一张20x30的方格纸，能否作一条直线穿过纸上50个方格的内部？#22部分解决]
02-8。 已知自然数a,b,c,d都可以被ab-cd整除。证明：ab-cd 等于1或-1。[天下无苕,mathe于114#解决]
02-9。一堆火柴共3001根。 每人每次可从中取走p^n根(n=0,1,2,... ),p为小于3001任意一个给定质数。谁取得最后一根火柴，就算谁赢，谁有必胜的策略？[到处瞎逛 于121#解决]
02-10。在（1）19x91；（2）19x92的方格中，每人每次涂黑1个或多个小方格，使之成为正方形。已被涂黑的方格不许再涂。谁涂黑了最后一个方格，就算谁赢，谁有必胜的策略？
03-1.求出Fibonacci 小数的和是多少?第n个Fibonacci 小数是把第n个Fibonacci数右移n位所得的数,如下所示: [ 到处瞎逛 于120#解决]
0.1
0.01
0.002
0.0003
0.00005
0.000008
………………………
0.112359… = ?
03-2.找出一个最小整数,使得其首位为7,当将首位调到末位时,其值为原数的1/3.#11解决,无心人于#12解决。
03-3.试在平面上标出7个点，使得其中任何3个点都有某两个点的距离等于1。#66,mathe于#67解决]
03-4.6枚5分硬币方在桌面上形成一个‘闭链’。另有1枚5分硬币贴着‘闭链’的外侧边缘作无滑动的转动，依次以外切状态转过链上的所有硬币。它需要转过多少转后回到初始状态？
03-5.试求所有的自然数n，使得n^n+1为不超过19位的质数。125#解决]
03-6. 数列a(n)具有如下性质：a(1)=1,而对任何n，有a(n+1)-a(n)等于0或1。现知对某个n，有a(n)=n/1000. 证明：存在某个m，使a(m)=m/500.
03-7.一个圆由两个正方形所完全覆盖,正方形的边长为1米,问圆的最大直径为多少?#29部分解决] 04－1.[★★]从29x29的方格纸上剪下了99个正方形，它们都由4个方格组成。证明：从这张方格纸上还可以再剪出一个这样的正方形。
04－2[★★] 在平面上给定一个半径为1的圆和5条与圆相交的直线。平面上有一点x与圆心的距离为11.1。证明：如果作x关于第一条直线的对称点x1,再作x1关于第二条直线的对称点x2，如此下去，最终得到x5，则x5不可能位于给定的圆内。
04－3. [★★] 自然数y是由重排自然数x的各位数字后得到的。今知x+y=10^200,证明：x是50的倍数。
04－4[★★] 在直线上给定若干条线段，其中任何两条线段都相交。证明：必有一个点属于所有这些线段。
04－5[★★★] ΔABC的3个顶点都位于坐标平面的整点之上（两个坐标都为整数的点称为整点，又称格点）。现知|AB|>|AC|。证明：|AB|-|AC|>1/p， p是ΔABC的周长。
04－6[★★] 平面被染为（1）两种；（2）3种；（3）100种不同颜色。证明：从中可以找出各个顶点都为同一颜色的矩形。
04－7[★★]. 黑板上写有1,2,...,n。每分钟小李擦掉两个数a,b,然后写上a+b+ab。显然n-1分钟后，黑板上只剩下一个数。问最后剩下的数和操作顺序有关吗？对怎样的n最后的得数是奇数？
04－8.[★★★] 设a(1)=3，且对n≥1有a(n+1)=(3a(n)^2+1)/2 – a(n)，如果 n是3的方幂, 证明n∣a(n) 。
04－9.[★★★] 一个domino是一个1x2或2x1的矩形, 平面某一区域的domino拼铺是全用domino无重叠地覆盖这一区域。问一个3xN的矩形有多少种domino拼铺？
04－10.[ ★★★★] 设 S={1,2,…,n}, T是S的所有非空子集构成的集合。若函数f: T→S满足：对任意A,B∈T，如果A是B的真子集，则有f(A)≠f(B)，则称f为garish的。问有多少garish的函数，并证明你的结论。126#解决]
05-1.[★]对于三角形ABC，其内切圆与外接圆半径分别为r和R、圆心分别为P与O，求P与O的距离。
05-2[★★]注意到 959^2=919681,919+681=40^2; 960^=921600, 921+600=39^2; 961^2=923521,923+521=38^2. 试对于这种情况建立一个一般的规律。
05-3[★★] 解函数方程： f(x+2f(y))=f(x)+y+f(y) [由 mathe 解决]
05-4[★★]如果圆上有16个点，问以这些点为顶点最多可以有多少个锐角三角形？
05-5[★★★]设S1，S2，S3，…，是一列两两不交的整数集，每个集合中恰有2个元素，并且，Sn中的元素的和恰好是n。证明：有无穷多个n，使得Sn中存在一个大于13n/7的元素。
05-6[★★★]一个2n 位的数字的牌照号码，如果前n位数字之和等于后n位数字之和，我们就称这2n位数字牌照号为幸运数。牌照号可以以0开头。
1） 计算6位幸运数的个数；
2） 计算8位幸运数的个数；
3） 计算10位幸运数的个数；
4） 计算2进制的2n位幸运数的个数；
5） 计算m进制的2n位幸运数的个数。
05-7[★★★]考虑平面中 3n个不同的点组成的集合M，任两点之间的距离不超过1。证明：
1） 对M的任何四点中，至少有两个点，其距离不超过√2 / 2。
2） 如果n=2，对于任何ε>0，存在六个点的构型，使其12个距离属于区间（1-ε，1），但不存在这样的构形，使至少13个距离属于（√2/2，1）。
3） 存在一个半径不超过√3/3的圆，含了所有的点。
4） M中存在两点，其距离不超过4/（3√n - √3）。 02-3。 黑板上写着1个1。每一秒钟都将黑板上的数增加上它的各位数字之和。试问，能否经过有限一端时间后，在黑板上出现数123456？
定义δ(x):=x的各位数字之和
假设123456 = M + δ(M) ，易知δ(M)<1+5*9 =46
∴ M>123456-46=123410, 故可设 M=1234xy
有 123456 = 1234xy+10+x+y
即 11x+2y = 46
解得 x = 4 ，y = 1
M = 123441
再设 123441= M+δ(M), 首先可由δ(M)<46 得M>123395
继而得 δ(M)<1+2+3+4+9+9=28, 故 M>123413
于是可设 123441的前一个数为 1234xy
有 123441 = 1234xy+10+x+y
即 11x+2y = 31
无解
所以123456不会出现（也可以编个简单的程序验证^_^） 02-4。（1）试找出一个七位数，它的各位数字各不相同，它还可被自己的每一位数整除。 （2） 是否存在这样的八位数？
对于前面一问，应该很简单，而且此类的七位数应该很多，如6543120，5643120，4356120....
对于八位数的情况：
1）该八位数中有9，那么此八位数各位数之和可以整除9，而0到9这十个数之和为45，可以整除9，说明缺少的两个数之和也能整除9，这种组合可以为：（1，8），（2，7），（3，6），（4，5）。
2）若该八位数中不含有9，则3，6必有一个，即能整除3，也说明另一个缺少的数为3的倍数，这种组合有（9，0），（9，3），（9，6）
我们可以先分析不在上述所有情况下不含有数字7的情况，应该只有一种：
9，8，6，5，4，3，1，0
保证个位数为0，则很容易验证该八位数整除，9，6，3，5，1，0，我们只要在保证能整除8，则该八位数就满足要求。
很显然，若后三位为160，或是640，或是480就可，如八位数98543160就满足要求。
02-2。如何将一个任意三角形分成三部分，使得可用他们拼成一个矩形
如图，以△ABC的最长边BC为底，自两腰中点向底边作垂线，沿垂线分割为3块。移动BEH至AHI,移动CFG至AGK，得到长方形EFKI
原帖由 guetsxjm 于 2008-6-22 11:36 发表 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
对于前面一问，应该很简单，而且此类的七位数应该很多，如6543120，5643120，4356120....
对于八位数的情况：
1）该八位数中有9，那么此八位数各位数之和可以整除9，而0到9这十个数之和为45，可以整除9，说明缺少 ...
不可以含0，0不能整除任意数字 01-3． 试画出一个图形，使得用它不能覆盖一个半径为1的半圆；但用两个这样的图形却可以覆盖一个半径为1的圆。
如下图所示，蓝色部分为所画图形
02-1 能否将正方形分为若干个钝角三角形？
将一个正方形分割为若干个钝角三角形，6个是最少的了。4个直角都不能保留，必须分割，所以分割图线在正方形内必有顶点。
1个内点显然不够，否则其所在周角被4分，至少有一个不是钝角。
2个内点，e个边上点，则按V+F-E=1，2E=3F+4+e, V=6+e 解得F=6+e≥6.
回复 6# mathe
确实没考虑清楚，多谢指正:)既然没有0出现，那就不能被整除，所以也不应该出现5。剩下1,2,3,4,6,7,8,9之和不能整除9，故不存在这样的八位数。
同样对于7位数也不能出现0, 5，剩下只能舍1个了，所以3，6，9至少取其2，故必能被3整除，则各位数字之和能被3整除。
检查知（1+2+3+4+6+7+8+9）模3余1，所以舍去的数字必在1，4，7中。
那么它就被9整除，所以各位数字之和是9的倍数，检查知（1+2+3+4+6+7+8+9）模9余4，所以舍弃的数字必是4。
即该数含1，2，3，6，7，8，9，这7个数的最小公倍数是504，在504的倍数中找到1289736是满足要求的最小解。 :)
裁判的工作由mathe完成
俺郑重任命