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[转载] 数学奥林匹克升级题

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发表于 2008-6-21 19:26:38 | 显示全部楼层 |阅读模式

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精华
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我也转点难题,难为下你们

01-1. 李庄的每一位男孩所认识的所有女孩都彼此认识,而每一个女孩所认识的男孩都比她所认识的女孩多。证明:李庄的男孩不少于女孩。 [gogdizzy 于109#解决]

01-2.数列1,9,8,2,…自第5项起,每一项都等于它前面四项之和的个位数。试问,是否在该数列中有连续的四项为3,0,4,4。 [众人于#79~#100基本解决]

01-3. 试画出一个图形,使得用它不能覆盖一个半径为1的半圆;但用两个这样的图形却可以覆盖一个半径为1的圆。 [koffect于#7解决]

01-4. 在国际象棋棋盘上画圆,使圆周只经过黑色方格。试问,这种圆的半径最大可能为多少? [gxqcn于78#解决]

01-5. 有一个插座,其边缘上均匀地分布着6个插孔;还有一个与之相应的插头。插座上的插洞被按某种方式编为1至6号,插头上的插栓也作了相应的编号。证明:可以把插头插入插座,使得所有插栓都不插在对号的插孔内。如果插孔和插栓的数目是7啦?  [gogdizzy于#139解决]

01-6.  一个图具有n个顶点,每个顶点的度数*不超过5。证明:可以把每个顶点都染为3个颜色之一,使得两个端点同色的边的数目不多于n/2。
*注: 度数,是又给定顶点所连出的边的数目,称为该顶点的度数

01-7. 宇宙空间中飞行着2005架航天飞机,每一架航天飞机上有一位天文学家。航天飞机之间的距离各不相等,每位天文学家都在观察离自己最近的另一架航天飞机。证明:至少有一架航天飞机无人观察。 [nlrte13 ,shshsh_0510 于 135~138#解决]

01-8. (1)桌面上放着一些直径相同的硬币。证明:其中有的硬币至多与3枚其他硬币相切。(2)对于直径不尽相同的硬币,证明:有的硬币至多与5枚其他硬币相切。[nlrte13于134#解决]

01-9. 若干条线段覆盖了区间[0,1]。可以从这些线段中选出若干条互不相交的线段来,它们的长度之和不小于1/2。

01-10.眼花缭乱:正方形的各边9等分,过各分点及顶点在正方形内作另一边及两对角线的平行线,在这个图中有三角形和梯形的个数分别是多少?如果n等分它们的该数分别又是多少?

02-1。 能否将正方形分为若干个钝角三角形?[koffect于#8解决]

02-2。如何将一个任意三角形分成三部分,使得可用他们拼成一个矩形?[koffect于#5解决]

02-3。 黑板上写着1个1。每一秒钟都将黑板上的数增加上它的各位数字之和。试问,能否经过有限一端时间后,在黑板上出现数123456? [koffect于#3解决]

02-4。(1)试找出一个七位数,它的各位数字各不相同,它还可被自己的每一位数整除。 (2) 是否存在这样的八位数?[guetsxjm于9#解决]

02-5。求出19^100的各位数字之和,再求出所得之和得各位数字之和,并一直如此进行下去,直至得到一个一位数。该一位数是多少?[guetsxjm于#13解决]

02-6。 30把椅子排成一行,随时又人走过来坐在空椅上。但是每当又一个人坐下时,便有一个坐在他邻座上的人起身离开(只要他的邻座上原来有人)。试问,最多可以有多少把椅子上同时坐着人,如果:1) 原来30把椅子全是空的; 2)原来有10把椅子坐着人。

02-7。 给定一张20x30的方格纸,能否作一条直线穿过纸上50个方格的内部?[koffect于#22部分解决]

02-8。 已知自然数a,b,c,d都可以被ab-cd整除。证明:ab-cd 等于1或-1。[天下无苕,mathe于114#解决]

02-9。  一堆火柴共3001根。 每人每次可从中取走p^n根(n=0,1,2,... ),p为小于3001任意一个给定质数。谁取得最后一根火柴,就算谁赢,谁有必胜的策略?[到处瞎逛 于121#解决]

02-10。在(1)19x91;(2)19x92的方格中,每人每次涂黑1个或多个小方格,使之成为正方形。已被涂黑的方格不许再涂。谁涂黑了最后一个方格,就算谁赢,谁有必胜的策略?

03-1.求出Fibonacci 小数的和是多少?第n个Fibonacci 小数是把第n个Fibonacci数右移n位所得的数,如下所示: [ 到处瞎逛 于120#解决]

0.1
0.01
0.002
0.0003
0.00005
0.000008
………………………
0.112359… = ?

03-2.找出一个最小整数,使得其首位为7,当将首位调到末位时,其值为原数的1/3.[koffect于#11解决,无心人于#12解决。

03-3.试在平面上标出7个点,使得其中任何3个点都有某两个点的距离等于1。[shshsh_0510于#66,mathe于#67解决]

03-4.6枚5分硬币方在桌面上形成一个‘闭链’。另有1枚5分硬币贴着‘闭链’的外侧边缘作无滑动的转动,依次以外切状态转过链上的所有硬币。它需要转过多少转后回到初始状态?

03-5.试求所有的自然数n,使得n^n+1为不超过19位的质数。[shshsh_0510 于125#解决]

03-6. 数列a(n)具有如下性质:a(1)=1,而对任何n,有a(n+1)-a(n)等于0或1。现知对某个n,有a(n)=n/1000. 证明:存在某个m,使a(m)=m/500.

03-7.一个圆由两个正方形所完全覆盖,正方形的边长为1米,问圆的最大直径为多少?[shshsh_0510于#29部分解决]
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2008-6-21 19:29:55 | 显示全部楼层
04-1.[★★]从29x29的方格纸上剪下了99个正方形,它们都由4个方格组成。证明:从这张方格纸上还可以再剪出一个这样的正方形。

04-2[★★] 在平面上给定一个半径为1的圆和5条与圆相交的直线。平面上有一点x与圆心的距离为11.1。证明:如果作x关于第一条直线的对称点x1,再作x1关于第二条直线的对称点x2,如此下去,最终得到x5,则x5不可能位于给定的圆内。

04-3. [★★] 自然数y是由重排自然数x的各位数字后得到的。今知x+y=10^200,证明:x是50的倍数。

04-4[★★] 在直线上给定若干条线段,其中任何两条线段都相交。证明:必有一个点属于所有这些线段。

04-5[★★★] ΔABC的3个顶点都位于坐标平面的整点之上(两个坐标都为整数的点称为整点,又称格点)。现知|AB|>|AC|。证明:|AB|-|AC|>1/p, p是ΔABC的周长。

04-6[★★] 平面被染为(1)两种;(2)3种;(3)100种不同颜色。证明:从中可以找出各个顶点都为同一颜色的矩形。

04-7[★★]. 黑板上写有1,2,...,n。每分钟小李擦掉两个数a,b,然后写上a+b+ab。显然n-1分钟后,黑板上只剩下一个数。问最后剩下的数和操作顺序有关吗?对怎样的n最后的得数是奇数?

04-8.[★★★] 设a(1)=3,且对n≥1有a(n+1)=(3a(n)^2+1)/2 – a(n),如果 n是3的方幂, 证明n∣a(n) 。

04-9.[★★★] 一个domino是一个1x2或2x1的矩形, 平面某一区域的domino拼铺是全用domino无重叠地覆盖这一区域。问一个3xN的矩形有多少种domino拼铺?

04-10.[ ★★★★] 设 S={1,2,…,n}, T是S的所有非空子集构成的集合。若函数f: T→S满足:对任意A,B∈T,如果A是B的真子集,则有f(A)≠f(B),则称f为garish的。问有多少garish的函数,并证明你的结论。[shshsh_0510 于126#解决]
       
05-1.[★]对于三角形ABC,其内切圆与外接圆半径分别为r和R、圆心分别为P与O,求P与O的距离。

05-2[★★]注意到 959^2=919681,919+681=40^2; 960^=921600, 921+600=39^2; 961^2=923521,923+521=38^2. 试对于这种情况建立一个一般的规律。

05-3[★★] 解函数方程: f(x+2f(y))=f(x)+y+f(y) [由 mathe 解决]

05-4[★★]如果圆上有16个点,问以这些点为顶点最多可以有多少个锐角三角形?

05-5[★★★]设S1,S2,S3,…,是一列两两不交的整数集,每个集合中恰有2个元素,并且,Sn中的元素的和恰好是n。证明:有无穷多个n,使得Sn中存在一个大于13n/7的元素。

05-6[★★★]一个2n 位的数字的牌照号码,如果前n位数字之和等于后n位数字之和,我们就称这2n位数字牌照号为幸运数。牌照号可以以0开头。
1) 计算6位幸运数的个数;
2) 计算8位幸运数的个数;
3) 计算10位幸运数的个数;
4) 计算2进制的2n位幸运数的个数;
5) 计算m进制的2n位幸运数的个数。

05-7[★★★]考虑平面中 3n个不同的点组成的集合M,任两点之间的距离不超过1。证明:
1) 对M的任何四点中,至少有两个点,其距离不超过√2 / 2。
2) 如果n=2,对于任何ε>0,存在六个点的构型,使其12个距离属于区间(1-ε,1),但不存在这样的构形,使至少13个距离属于(√2/2,1)。
3) 存在一个半径不超过√3/3的圆,含了所有的点。
4) M中存在两点,其距离不超过4/(3√n - √3)。
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发表于 2008-6-22 03:08:35 | 显示全部楼层
02-3。 黑板上写着1个1。每一秒钟都将黑板上的数增加上它的各位数字之和。试问,能否经过有限一端时间后,在黑板上出现数123456?

定义δ(x):=x的各位数字之和
假设123456 = M + δ(M) ,易知δ(M)<1+5*9 =46
∴ M>123456-46=123410, 故可设 M=1234xy
有 123456 = 1234xy+10+x+y
即 11x+2y = 46
解得 x = 4 ,y = 1
M = 123441

再设 123441= M+δ(M), 首先可由δ(M)<46 得M>123395
继而得 δ(M)<1+2+3+4+9+9=28, 故 M>123413
于是可设 123441的前一个数为 1234xy
有 123441 = 1234xy+10+x+y
即 11x+2y = 31
无解

所以123456不会出现(也可以编个简单的程序验证^_^)

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发表于 2008-6-22 11:36:56 | 显示全部楼层
02-4。(1)试找出一个七位数,它的各位数字各不相同,它还可被自己的每一位数整除。 (2) 是否存在这样的八位数?

对于前面一问,应该很简单,而且此类的七位数应该很多,如6543120,5643120,4356120....
对于八位数的情况:
1)该八位数中有9,那么此八位数各位数之和可以整除9,而0到9这十个数之和为45,可以整除9,说明缺少的两个数之和也能整除9,这种组合可以为:(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)。
2)若该八位数中不含有9,则3,6必有一个,即能整除3,也说明另一个缺少的数为3的倍数,这种组合有(9,0),(9,3),(9,6)
我们可以先分析不在上述所有情况下不含有数字7的情况,应该只有一种:
9,8,6,5,4,3,1,0
保证个位数为0,则很容易验证该八位数整除,9,6,3,5,1,0,我们只要在保证能整除8,则该八位数就满足要求。
很显然,若后三位为160,或是640,或是480就可,如八位数98543160就满足要求。
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发表于 2008-6-22 13:38:02 | 显示全部楼层

02-2。如何将一个任意三角形分成三部分,使得可用他们拼成一个矩形

如图,以△ABC的最长边BC为底,自两腰中点向底边作垂线,沿垂线分割为3块。
移动BEH至AHI,移动CFG至AGK,得到长方形EFKI

锐角三角形.PNG
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发表于 2008-6-22 13:42:00 | 显示全部楼层
原帖由 guetsxjm 于 2008-6-22 11:36 发表

对于前面一问,应该很简单,而且此类的七位数应该很多,如6543120,5643120,4356120....
对于八位数的情况:
1)该八位数中有9,那么此八位数各位数之和可以整除9,而0到9这十个数之和为45,可以整除9,说明缺少 ...

不可以含0,0不能整除任意数字
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发表于 2008-6-22 14:00:28 | 显示全部楼层
01-3. 试画出一个图形,使得用它不能覆盖一个半径为1的半圆;但用两个这样的图形却可以覆盖一个半径为1的圆。

如下图所示,蓝色部分为所画图形
半圆覆盖.PNG

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mathe + 1 可以在中间在添加一个半径很小的蓝色圆,使 ...

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发表于 2008-6-22 14:23:36 | 显示全部楼层

02-1 能否将正方形分为若干个钝角三角形?

将一个正方形分割为若干个钝角三角形,6个是最少的了。

4个直角都不能保留,必须分割,所以分割图线在正方形内必有顶点。
1个内点显然不够,否则其所在周角被4分,至少有一个不是钝角。
2个内点,e个边上点,则按V+F-E=1,2E=3F+4+e, V=6+e 解得F=6+e≥6.
将正方形分割为钝角三角形.PNG

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发表于 2008-6-22 15:01:35 | 显示全部楼层

回复 6# mathe

确实没考虑清楚,多谢指正
既然没有0出现,那就不能被整除,所以也不应该出现5。剩下1,2,3,4,6,7,8,9之和不能整除9,故不存在这样的八位数。
同样对于7位数也不能出现0, 5,剩下只能舍1个了,所以3,6,9至少取其2,故必能被3整除,则各位数字之和能被3整除。
检查知(1+2+3+4+6+7+8+9)模3余1,所以舍去的数字必在1,4,7中。
那么它就被9整除,所以各位数字之和是9的倍数,检查知(1+2+3+4+6+7+8+9)模9余4,所以舍弃的数字必是4。
即该数含1,2,3,6,7,8,9,这7个数的最小公倍数是504,在504的倍数中找到1289736是满足要求的最小解。
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 楼主| 发表于 2008-6-22 15:03:10 | 显示全部楼层


裁判的工作由mathe完成
俺郑重任命
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