数学奥林匹克升级题

kofeffect

03-2.找出一个最小整数,使得其首位为7,当将首位调到末位时,其值为原数的1/3.

计算得到结果为
7241379310344827586206896551

7************************ = ***********************7X3
7***********************1 = **********************17X3
7**********************51 = *********************517X3
7*********************551 = ********************5517X3
7********************6551 = *******************65517X3
7*******************96551 = ******************965517X3
7******************896551 = *****************8965517X3
.......
a(0)=7
a(n)=30a(n-1)%10^(n+1)+7

无心人

楼上的题目
呵呵，这么作
7 * 10^n + a = 3(10a + 7)
7*10^n - 21 = 29a
可见7|a, 可设 a=7A, 代入上式，取模29得同余式
10^n=3(mod29) -> 3^{n+1}=1(mod29)
解得 n=27
代入解得 a=241379310344827586206896551
所以 answer=7241379310344827586206896551

guetsxjm

02-5。求出19^100的各位数字之和，再求出所得之和得各位数字之和，并一直如此进行下去，直至得到一个一位数。该一位数是多少？

定义 δ(x):=x的各位数字之和，有同余式 x≡δ(x)(mod 9).
构造迭代序列 `x_0=a, x_{n+1}=δ(x_n)`, 根据上述同余式即有 `x_n≡x_{n+1}\pmod 9`,这样同余式可以沿迭代序列一直传递下去，直到得到1位数。
记从19^100 开始迭代，得到的一位数为 x, 则x≡ (19)^100≡(19％9)^100=1(mod 9), 所以 x=1.

kofeffect

02-7。 给定一张20x30的方格纸，能否作一条直线穿过纸上50个方格的内部？

我的想法，怎么最多只能穿过49个。。。
在n*m的方格纸，一条直线最多只能穿过n+m-1个方格
大家有没有什么想法？

mathe

原帖由 kofeffect 于 2008-6-24 11:31 发表
02-7。 给定一张20x30的方格纸，能否作一条直线穿过纸上50个方格的内部？

我的想法，怎么最多只能穿过49个。。。
在n*m的方格纸，一条直线最多只能穿过n+m-1个方格
大家有没有什么想法？

考虑直线同方格边界对应的n+m+2条直线的相交情况就可以了,49是正确的答案

mathe

04－10.[ ★★★★] 设 S={1,2,…,n}, T是S的所有非空子集构成的集合。若函数f: T→S满足：对任意A,B∈T，如果A是B的真子集，则有f(A)≠f(B)，则称f为garish的。问有多少garish的函数，并证明你的结论。

这个题目标四星，其实不难

kofeffect

03-7.一个圆由两个正方形所完全覆盖,正方形的边长为1米,问圆的最大直径为多少?

作了一个图，不知对不，计算得到$sqrt(4-2*sqrt(2))=1.0823922…$

另：你们有什么好的作图软件吗？我这个图是用“几何画板4.06中文版”作图的。

kofeffect

另：
楼主能否把已经确认解决的问题标个记号

mathe

原帖由 kofeffect 于 2008-6-25 14:37 发表
另：
楼主能否把已经确认解决的问题标个记号

我标上了

kofeffect

原帖由 mathe 于 2008-6-25 15:10 发表

我标上了

你标错了，第一个标志就错了
另，如果使用其它颜色加以区别会更好^_^