数学奥林匹克升级题

王守恩

01-10．眼花缭乱：正方形的各边9等分，过各分点及顶点在正方形内作另一边及两对角线的平行线，
              在这个图中有三角形和梯形的个数分别是多少？如果n等分它们的该数分别又是多少？
        我只能回答第1个问题。在这个图中三角形的个数是640个，梯形的个数是5520个。
        第2个问题。如果n等分，有规律吗？。
               三角形的个数依次是11，31，67，123， 204，  314，  458， 640......
                 梯形的个数依次是11，65，212，524，1090，2022，3448，5520......

王守恩

01-10．眼花缭乱：正方形的各边9等分，过各分点及顶点在正方形内作另一边及两对角线的平行线，
              在这个图中有三角形和梯形的个数分别是多少？如果n等分它们的该数分别又是多少？
        我只能回答第1个问题。在这个图中三角形的个数是640个，梯形的个数是5520个。
        第2个问题。如果n等分，有规律吗？。
               三角形的个数依次是11，31，67，123， 204，  314，  458，  640，  865，  1425，......
                 梯形的个数依次是11，65，212，524，1090，2022，3448，5520，8405，12295，......
       这两串数我又加了2个（我是手工算的，算了2天）。很可能已经错了，不敢往前走了。有规律吗？

王守恩

王守恩 发表于 2017-11-26 17:26
01-10．眼花缭乱：正方形的各边9等分，过各分点及顶点在正方形内作另一边及两对角线的平行线，
           ...

三角形的个数依次是11，31，67，123， 204，  314，  458，  640，  865，  1137， 1461， 1841 ，......
梯形的个数依次是11，65，212，524，1090，2022，3448，5520，8405，12295，17396，23940，......
      求助： 这两串数有规律吗？

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到处瞎逛 发表于 2009-5-26 19:24
03-1.求出Fibonacci 小数的和是多少?第n个Fibonacci 小数是把第n个Fibonacci数右移n位所得的数,如下所示:
...

……满满的回忆
https://zhidao.baidu.com/question/64186403.html
小时候被这题折磨得好惨好惨……

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03-6 胡乱玩一下好了
记$f(n)=\frac n{a(n)}$
$$f(1)=1,f(n)=1000$$
我们希望找到m使得$f(m)=500$
我们有：
$$f(n)<f(m)<f(1)$$
……直接证不方便，我们可以用反证法，如果不存在m使得$f(m')=500$
那么对任意$n$,$f(n)<500$
显然对k=1的情况，当$n<500*k$时有$f(n)<500$
下设当k=s的情况，当$n<500*k$时有$f(n)<500$，此时$\frac n{a(n)}<500$,取n=500*k-1有$\frac {500k-1}{500}<a(500k-1)$
从而$a(500k-1)>k-\frac {1}{500}$,$a(500k-1)\ge k$
对k=s+1的情况，注意到$f(500*s-1)<500$，可以推得$a(500*s-1)\ge s$
由反证法假设，$a(500*s)\ne s$从而$a(500*s)\ge s+1$
从而对$n<500*k$，$f(n)=\frac n{a(n)}\le\frac{500k-1}{a(500s)}=\frac{500(s+1)-1}{s+1}=500-\frac{1}{s+1}$
即有$f(n)<500$
由归纳原理，不存在m使得$f(m')=500$，那么对任意$n$,$f(n)<500$#

王守恩

王守恩 发表于 2017-11-24 20:54
01-10．眼花缭乱：正方形的各边9等分，过各分点及顶点在正方形内作另一边及两对角线的平行线，
           ...

01-10．眼花缭乱：正方形的各边9等分，过各分点及顶点在正方形内作另一边及两对角线的平行线，
              在这个图中有三角形和梯形的个数分别是多少？如果n等分它们的该数分别又是多少？
        第1个问题。在这个图中三角形的个数是640个，梯形的个数是5520个。
        第2个问题。如果n等分，有规律吗？。
               
三角形的个数依次是2，11，31，67，123， 204，  314，  458，  640，  865，  1137， 1461， 1841 ，......
2=1×2
11=1×2+3×3
31=1×2+3×3+4×5
67=1×2+3×3+4×5+6×6
123=1×2+3×3+4×5+6×6+7×8
204=1×2+3×3+4×5+6×6+7×8+9×9
314=1×2+3×3+4×5+6×6+7×8+9×9+10×11
458=1×2+3×3+4×5+6×6+7×8+9×9+10×11+12×12
640=1×2+3×3+4×5+6×6+7×8+9×9+10×11+12×12+13×14
865=1×2+3×3+4×5+6×6+7×8+9×9+10×11+12×12+13×14+15×15
.........
    第2个问题。如果n等分，有标准答案吗？

曹半

这个帖子4-，5-系列的问题没有后续讨论真是可惜