数学奥林匹克升级题

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我狠喜欢！但是我不专业。。。

hblac

03-6  数列a(n)不减，且为正整数。a(n)=n/1000，从而1000|n。设n=1000k，考虑a(500)，a(1000)，a(1500)...a(500k)，a(500)>=1，如果a(500)=1，得证，否则a(500)>=2，从而a(1000)>=2，如果a(1000)=2，得证；否则a(1000)>=3，如此继续下去，或者得证，或者有a(500k)>=k+1，但是a(500k)<=a(n)=a(1000k)=k，这产生矛盾，从而一定得证。

geslon

04－6[★★] 平面被染为（1）两种；（2）3种；（3）100种不同颜色。证明：从中可以找出各个顶点都为同一颜色的矩形。

这个很简单吧。

hblac

01-9 对所有的线段做这样的预处理：去掉如下的线段，这些线段或者包含在某个线段内，或者包含在某些线段之并内。（去掉某条线段后，就不再考虑它。预处理后的结果也可能不唯一，任取一个都行）。预处理后，剩下的线段依然覆盖[0,1]，把剩下的线段按线段左边端点排序，很容易证明所有的第奇数位线段互不相交，所有的偶数位线段也两两不交，这两组线段中至少有一组的长度和不小于1/2。

木精灵在树梢

03-6. 数列a(n)具有如下性质：a(1)=1,而对任何n，有a(n+1)-a(n)等于0或1。现知对某个n，有a(n)=n/1000. 证明：存在某个m，使a(m)=m/500.

无心人 发表于 2008-6-21 19:26

由数列的性质，可以这样来表达该数列从1到n的值
a（x） = 1,  x属于[1  ，r1]；
a（x） = 2,  x属于[r1+1，r2]；
a（x） = 3,  x属于[r2+1，r3]；
……
a（x） = N,  x属于[r(N-1)+1，rN]；     其中rN = n，N = n/1000 。

如果存在a(m)=m/500的可能性，那么在每一个值上的可能性就是

a（x） = 1,  x属于[1  ，r1]；               可能a(1*500) = 1;
a（x） = 2,  x属于[r1+1，r2]；            可能a(2*500) = 2;
a（x） = 3,  x属于[r2+1，r3]；            可能a(3*500) = 3;
……
a（x） = N,  x属于[r(N-1)+1，rN]；       可能a(N*500) = N;        因为N*500 < N*1000,该项一定存在。

用反证法证明：
我们假设a(x*500) != x, x属于[1，rN]。
因 a(1*500) != 1 , 即[1 ，r1]中不包含1*500，则r1 < 1*500;
因a(2*500) != 2 , 即[r1 ，r2]中不包含2*500，因为r1<1*500<2*500,则区间[r1，r2]只能在2*500之前，于是r2 < 2*500;
……
因a(N*500) != N , 即[r(N-1) ，rN]中不包含N*500，因为r(N-1)<(N-1)*500<N*500,则区间[r(N-1)，rN]只能在N*500之前，于是rN < N*500,这与rN == N*1000矛盾，因此假设不成立。证毕

木精灵在树梢

01-9． 若干条线段覆盖了区间[0，1]。可以从这些线段中选出若干条互不相交的线段来，它们的长度之和不小于1/2。
无心人 发表于 2008-6-21 19:26

1、先扔掉完全无用的线段，即剩下线段中，扔掉任何一条线段，都导致不能覆盖区间[0，1]。
2、于是。区间上每一个点，最多只被两条线段覆盖，可以证明如果某一点被三条线段覆盖，其中必有一条线段是被另两条线段覆盖的。而且每一条线段，都拥有一个区间，仅仅被该线段自己覆盖。
3、因此，线段只能一段一段交叠的。--------------====_________=======---------==========________==========-------

那么所有偶数段线段都是互不相交的，所有奇数段线段也是互不相交的。
这2者之中，必有一个集合的长度大于等于1/2。

王守恩

02-6。 30把椅子排成一行，随时有人走过来坐在空椅上。但是每当有一个人坐下时，便有一个坐在他邻座上的人起身离开（只要他的邻座上原来有人）。试问，最多可以有多少把椅子上同时坐着人，如果：1） 原来30把椅子全是空的； 2）原来有10把椅子坐着人。
1） 原来30把椅子全是空的； 最多可以有29把椅子上同时坐着人
第1次：1,3#椅子上同时坐着人
第2次：1,2,4#椅子上同时坐着人
第3次：1,2,3,5#椅子上同时坐着人
第4次：1,2,3,4,6#椅子上同时坐着人
第5次：1,2,3,4,5,7#椅子上同时坐着人
第6次：1,2,3,4,5,6,8#椅子上同时坐着人
第7次：1,2,3,4,5,6,7,9#椅子上同时坐着人
第8次：1,2,3,4,.....,8,10#椅子上同时坐着人
第9次：1,2,3,4,.....,9,11#椅子上同时坐着人
第27次：1,2,3,4,.....,27,29#椅子上同时坐着人
第28次：1,2,3,4,.....,28,30#椅子上同时坐着人
第29次：1,2,3,4,.....,28,29#椅子上同时坐着人

王守恩

05-2[★★]注意到 959^2=919681,919+681=40^2; 960^=921600, 921+600=39^2; 961^2=923521,923+521=38^2. 试对于这种情况建立一个一般的规律。
\(设\ \ m>n\ \ \ m+n=999\)
\( 则有\ \ m^2=m(999-n)\)
\(=999m-nm\)\(=999m-n(999-n)\)
\(=999m-999n+n^2\)\(=999(m-n)+n^2\)
\(=1000(m-n)+[n^2-(m-n)]\)
\(而 \ (m-n)+[n^2-(m-n)]=n^2\)

王守恩

05-6[★★★]一个2n 位的数字的牌照号码，如果前n位数字之和等于后n位数字之和，我们就称这2n位数字牌照号为幸运数。牌照号可以以0开头。
1） 计算6位幸运数的个数；
2） 计算8位幸运数的个数；
3） 计算10位幸运数的个数；
4） 计算2进制的2n位幸运数的个数；
5） 计算m进制的2n位幸运数的个数。
\(1)\ 计算6位幸运数的个数\)
    \((1^2+3^2+6^2+10^2+15^2+21^2+28^2+36^2+45^2+55^2+63^2+69^2+73^2+75^2)×2=\)
\(2)\ 计算8位幸运数的个数\)
  \((1^2+4^2+10^2+20^2+35^2+56^2+84^2+120^2+165^2+220^2+282^2+348^2+415^2+480^2+540^2+592^2+633^2+660^2)×2+670^2=\)
\(3)\ 计算10位幸运数的个数\)
    \((1^2+5^2+15^2+35^2+70^2+126^2+210^2+330^2+495^2+715^2+996^2+1340^2+1745^2\)
    \(+2205^2+2710^2+3246^2+3795^2+4335^2+4840^2+5280^2+5631^2+5875^2+6000^2)×2=\)

王守恩

0.1
0.01
0.002
0.0003
0.00005
0.000008
………………………
0.112359… = ?   
\(\D k=\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{2}{10^3}+\frac{3}{10^4}+\frac{5}{10^5}+\frac{8}{10^6}+\frac{13}{10^7}+\frac{21}{10^8}+\frac{34}{10^9}+\frac{55}{10^{10}}+\frac{89}{10^{11}}+\frac{144}{10^{12}}+\frac{233}{10^{13}}+\frac{377}{10^{14}}+\cdots\)

\(\D 10 k=1+\frac{1}{10}+\frac{2}{10^2}+\frac{3}{10^3}+\frac{5}{10^4}+\frac{8}{10^5}+\frac{13}{10^6}+\frac{21}{10^7}+\frac{34}{10^8}+\frac{55}{10^9}+\frac{89}{10^{10}}+\frac{144}{10^{11}}+\frac{233}{10^{12}}+\frac{377}{10^{13}}+\frac{610}{10^{14}}+\cdots\)

\(\D 10 k-k =1+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\frac{2}{10^4}+\frac{3}{10^5}+\frac{5}{10^6}+\frac{8}{10^7}+\frac{13}{10^8}+\frac{21}{10^9}+\frac{34}{10^{10}}+\frac{55}{10^{11}}+\frac{89}{10^{12}}+\frac{144}{10^{13}}+\frac{233}{10^{14}}+\cdots\)

\(\D =1+\frac{1}{10}\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{2}{10^3}+\frac{3}{10^4}+\frac{5}{10^5}+\frac{8}{10^6}+\frac{13}{10^7}+\frac{21}{10^8}+\frac{34}{10^9}+\frac{55}{10^{10}}+\frac{89}{10^{11}}+\frac{144}{10^{12}}+\frac{233}{10^{13}}+\cdots\right)\)

\(\D 即9k=1+\frac{1}{10}k \)   \(\D k=\frac{10}{89}\)

\(\D k=\frac{1}{89}\left(1+\frac{9}{10}+\left(\frac{9}{10}\right)^2+\left(\frac{9}{10}\right)^3+\left(\frac{9}{10}\right)^4+\left(\frac{9}{10}\right)^5+\left(\frac{9}{10}\right)^6+\left(\frac{9}{10}\right)^7+\left(\frac{9}{10}\right)^8+\left(\frac{9}{10}\right)^9+\cdots\right)\)

\(\D k=\frac{2}{89}\left(1+\frac{8}{10}+\left(\frac{8}{10}\right)^2+\left(\frac{8}{10}\right)^3+\left(\frac{8}{10}\right)^4+\left(\frac{8}{10}\right)^5+\left(\frac{8}{10}\right)^6+\left(\frac{8}{10}\right)^7+\left(\frac{8}{10}\right)^8+\left(\frac{8}{10}\right)^9+\cdots\right)\)

\(\D k=\frac{3}{89}\left(1+\frac{7}{10}+\left(\frac{7}{10}\right)^2+\left(\frac{7}{10}\right)^3+\left(\frac{7}{10}\right)^4+\left(\frac{7}{10}\right)^5+\left(\frac{7}{10}\right)^6+\left(\frac{7}{10}\right)^7+\left(\frac{7}{10}\right)^8+\left(\frac{7}{10}\right)^9+\cdots\right)\)

\(\D k=\frac{4}{89}\left(1+\frac{6}{10}+\left(\frac{6}{10}\right)^2+\left(\frac{6}{10}\right)^3+\left(\frac{6}{10}\right)^4+\left(\frac{6}{10}\right)^5+\left(\frac{6}{10}\right)^6+\left(\frac{6}{10}\right)^7+\left(\frac{6}{10}\right)^8+\left(\frac{6}{10}\right)^9+\cdots\right)\)

\(\D k=\frac{5}{89}\left(1+\frac{5}{10}+\left(\frac{5}{10}\right)^2+\left(\frac{5}{10}\right)^3+\left(\frac{5}{10}\right)^4+\left(\frac{5}{10}\right)^5+\left(\frac{5}{10}\right)^6+\left(\frac{5}{10}\right)^7+\left(\frac{5}{10}\right)^8+\left(\frac{5}{10}\right)^9+\cdots\right)\)

\(\D \cdots\)