均分田地，田埂最短问题

gxqcn

楼上这个图形我曾考虑过，
但因为中间的那块面积是固定的，而边缘却是内凹的，四个角太锋利，估计会比较费周长。

zgg___

感觉这个问题和原来的“灌水问题”都可以通过力学角度来分析，呵呵。
我觉得边界最短要满足的条件是：1、是直线或圆弧（直线也可以看成圆弧啦）；2、在连接点上要相切的。
对于正方形分5分，可以下面的图也可能是一种分法。

gxqcn

方案三：作一个小正方形，使其面积=1/5，中心与原正方形的中心重合，但旋转45°，再过小正方四顶点向大正方形最邻近边引垂线，
这样得到的总长度$=(2+(4-2sqrt2)sqrt(1/5))=2.5239...$

gxqcn

上述方案一的四条线段是平行于原正方形四边的，不知将“大风车”旋转一定角度后是否可以更短点？

gxqcn

当 $n=5$ 时，
方案一：可以用四条线段组成一个大风车的形状，中间隔出一个小正方形面积=1/5，
此时总长$=(2+2sqrt(1/5))=2.8944...$

方案二：以原正方形中心为圆心画一个圆，使之面积=1/5，而后过中心平行于四边做直线，仅保留正方形与圆之间的4条线段，
此时总长$=(2+(2\pi-4)*sqrt(1/(5\pi)))=2.5760...$

gxqcn

4# mathe


也不见得吧？
正三角形均分面积的最短曲线好像是以其中一个顶点为圆心的圆弧。

mathe

应该可以证明如果田地是凸形，那么最优划分，所有田埂都是直线段

showjim

感觉可以贪心二分，不知道对不对

gxqcn

$n = 4$ 时最简单，
过正方形中心，平行于边纵横各划一条线即可，总长度为 2

修正：在13# KeyTo9_Fans 给出了更优的方案，可缩小为：1.9755...