均分田地，田埂最短问题

gxqcn

有一块田地需要分给 $n$ 户，要求各户分得面积相等，
田地内部不同户分得的区域将建田埂以分隔（原待分地已有田埂圈定）。
现为实现耕地面积最大化，要求新建田埂总长度最小。请问如何规划？

注：
1、分后新修的田埂对所分面积均等性的影响忽略不计；
2、允许“孤立”田埂的出现，如内部可出现一个“圆田埂”；
3、允许各户分得的田地不连通，即块数可以不止一块。


大家可先来做具体化一点的：
如果是一个单位正方形田地，$n$ 分别等于 2、3、4、5、6、7、8、9、…… 时，该如何操作？新建田埂总长度为多少？


补记：
近期 KeyTo9_Fans 发出了系列最优化问题，比如：火车站的最佳位置、最优美的轨道，
受此影响，也提一个类似问题。
不过我没有 KeyTo9_Fans 那么会生动的描述，
而且问题也要简单得多（甚至不知是否已有人系统研究过）。


当前最优结果
单位圆

n	l	where	who
1	0	-	-
2	2	-	-
3	3	42#	KeyTo9_Fans
4	3.945702967	84#	mathe
5	4.833846644	87#	mathe
6	5.40679693	99#	mathe
7	6	95# 数据参考数学星空 31#	mjs1wh
8	6.647231018	104#	数学星空
		更多结果在176# 高精度结果在186#

正方形

n	l	where	who
1	0	-	-
2	1	-	-
3	1.623278144	13#	KeyTo9_Fans
4	1.975592885	13#	KeyTo9_Fans
5	2.502112930	11#	KeyTo9_Fans
6	2.939946252	114#	mathe
7	3.280726464	116#	mathe
		更多结果在177#

gxqcn

$n = 4$ 时最简单， 过正方形中心，平行于边纵横各划一条线即可，总长度为 2

修正：在13# KeyTo9_Fans 给出了更优的方案，可缩小为：1.9755...

showjim

感觉可以贪心二分，不知道对不对

mathe

应该可以证明如果田地是凸形，那么最优划分，所有田埂都是直线段

gxqcn

4# mathe


也不见得吧？
正三角形均分面积的最短曲线好像是以其中一个顶点为圆心的圆弧。

gxqcn

当 $n=5$ 时，
方案一：可以用四条线段组成一个大风车的形状，中间隔出一个小正方形面积=1/5，
此时总长$=(2+2sqrt(1/5))=2.8944...$

方案二：以原正方形中心为圆心画一个圆，使之面积=1/5，而后过中心平行于四边做直线，仅保留正方形与圆之间的4条线段，
此时总长$=(2+(2\pi-4)*sqrt(1/(5\pi)))=2.5760...$

gxqcn

上述方案一的四条线段是平行于原正方形四边的，不知将“大风车”旋转一定角度后是否可以更短点？

gxqcn

方案三：作一个小正方形，使其面积=1/5，中心与原正方形的中心重合，但旋转45°，再过小正方四顶点向大正方形最邻近边引垂线， 这样得到的总长度$=(2+(4-2sqrt2)sqrt(1/5))=2.5239...$

zgg___

感觉这个问题和原来的“灌水问题”都可以通过力学角度来分析，呵呵。
我觉得边界最短要满足的条件是：1、是直线或圆弧（直线也可以看成圆弧啦）；2、在连接点上要相切的。
对于正方形分5分，可以下面的图也可能是一种分法。

gxqcn

楼上这个图形我曾考虑过，
但因为中间的那块面积是固定的，而边缘却是内凹的，四个角太锋利，估计会比较费周长。