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[原创] 均分田地,田埂最短问题

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发表于 2010-11-11 08:54:26 | 显示全部楼层 |阅读模式

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有一块田地需要分给 $n$ 户,要求各户分得面积相等,
田地内部不同户分得的区域将建田埂以分隔(原待分地已有田埂圈定)。
现为实现耕地面积最大化,要求新建田埂总长度最小。请问如何规划?
精华

注:
1、分后新修的田埂对所分面积均等性的影响忽略不计;
2、允许“孤立”田埂的出现,如内部可出现一个“圆田埂”;
3、允许各户分得的田地不连通,即块数可以不止一块。


大家可先来做具体化一点的:
如果是一个单位正方形田地,$n$ 分别等于 2、3、4、5、6、7、8、9、…… 时,该如何操作?新建田埂总长度为多少?


补记:
近期 KeyTo9_Fans 发出了系列最优化问题,比如:火车站的最佳位置最优美的轨道
受此影响,也提一个类似问题。
不过我没有 KeyTo9_Fans 那么会生动的描述,
而且问题也要简单得多(甚至不知是否已有人系统研究过)。


当前最优结果
单位圆
nlwherewho
10--
22--
3342#KeyTo9_Fans
43.94570296784# mathe
54.83384664487#mathe
65.4067969399#mathe
7695#
数据参考数学星空
31#
mjs1wh
86.647231018104#数学星空

更多结果在176#
高精度结果在186#


正方形
nlwherewho
10--
21--
31.62327814413#KeyTo9_Fans
41.97559288513#KeyTo9_Fans
52.50211293011#KeyTo9_Fans
62.939946252114#mathe
73.280726464116#mathe

更多结果在177#
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2010-11-11 09:28:41 | 显示全部楼层
$n = 4$ 时最简单,
过正方形中心,平行于边纵横各划一条线即可,总长度为 2

修正:在13# KeyTo9_Fans 给出了更优的方案,可缩小为:1.9755...
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-11-11 09:57:55 | 显示全部楼层
感觉可以贪心二分,不知道对不对
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-11-11 10:08:53 | 显示全部楼层
应该可以证明如果田地是凸形,那么最优划分,所有田埂都是直线段
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2010-11-11 10:23:00 | 显示全部楼层
4# mathe


也不见得吧?
正三角形均分面积的最短曲线好像是以其中一个顶点为圆心的圆弧。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2010-11-11 10:52:22 | 显示全部楼层
当 $n=5$ 时,
方案一:可以用四条线段组成一个大风车的形状,中间隔出一个小正方形面积=1/5,
此时总长$=(2+2sqrt(1/5))=2.8944...$

方案二:以原正方形中心为圆心画一个圆,使之面积=1/5,而后过中心平行于四边做直线,仅保留正方形与圆之间的4条线段,
此时总长$=(2+(2\pi-4)*sqrt(1/(5\pi)))=2.5760...$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2010-11-11 11:10:41 | 显示全部楼层
上述方案一的四条线段是平行于原正方形四边的,不知将“大风车”旋转一定角度后是否可以更短点?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2010-11-11 13:18:14 | 显示全部楼层
方案三:作一个小正方形,使其面积=1/5,中心与原正方形的中心重合,但旋转45°,再过小正方四顶点向大正方形最邻近边引垂线,
这样得到的总长度$=(2+(4-2sqrt2)sqrt(1/5))=2.5239...$
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发表于 2010-11-11 16:36:16 | 显示全部楼层
感觉这个问题和原来的“灌水问题”都可以通过力学角度来分析,呵呵。
我觉得边界最短要满足的条件是:1、是直线或圆弧(直线也可以看成圆弧啦);2、在连接点上要相切的。
对于正方形分5分,可以下面的图也可能是一种分法。
1.JPG
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2010-11-11 17:08:19 | 显示全部楼层
楼上这个图形我曾考虑过,
但因为中间的那块面积是固定的,而边缘却是内凹的,四个角太锋利,估计会比较费周长。
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