均分田地，田埂最短问题

mathe

59#中得出的结论还是非常复杂，从中很难看出很直接的几何性质。不过如果我们考虑到在弧AP,BP,CP上各任意取一点A',B',C'来代替A,B,C,那么我们同样还可以得出类似的3条约束方程。
现在我们考虑将A',B',C'三个点同时趋向P,那么显然在这种情况下，$\theta_{a'},\theta_{b'},\theta_{c'}$都将趋向0，而${2\theta_{a'}}/{L_{a'}}$等分别趋向各自圆弧的曲率（或者说半径的倒数）。而向量$({x_p-x_{a'}}/{L_{a'}},{y_p-y_{a'}}/{L_{a'}})$趋向圆弧在P点的单位切向量。
于是极限情况的行为中，后面两个约束条件转化为三条圆弧在P点的单位切向量之和为0，也就是两两夹角相等。而第一个约束条件转化为三条圆弧的有向曲率之和为0（这个条件我们还一直没有发现）。特别的如果其中一条是直线段，那么另外两个圆弧必须半径相等但是方向相反。
由此我们可以知道我在36#中提供的方案还不行，因为不满足这个内部点相连接的三条圆弧有向曲率之和为0的条件

mathe

上面的分析仅仅对于边界是矩形的情况适用。而对于边界是圆的情况，连接到边界的分割线不一定会同圆周垂直。
我们不妨设这个圆是单位圆，分割线圆内端点坐标为$(x_0,y_0)$,另外一个点是动点$(cos(u),sin(u))$
而分割 ...
mathe 发表于 2010-11-23 17:31

60#的面积弄错了，修改了一下，假设$r_0,theta_0$是$(x_0,y_0)$的半径和角度，那么，最后公式应该是
${sin(2theta)-theta cos(2theta)-theta}/{theta\sin(2theta)+cos(2theta)-1}={r_0cos(u-theta_0)-1}/{r_0*sin(u-theta_0)}$
上面的公式左边同样手工可以简化，然后变成
$tan(theta)={r_0sin(u-theta_0)}/{1-r_0cos(u-theta_0)}$
这个的确是垂直圆的边界的条件

gxqcn

如果对一个正五角星五等分，最短的方案是怎样的？
先前总结的规律还适用否？

我怎么感觉将五个内顶点均与中心连结，把五角星五等分已“足够短”了，
但它破坏了太多的“规矩”！不知该怎么解释。

mathe

如果对一个正五角星五等分，最短的方案是怎样的？
先前总结的规律还适用否？

我怎么感觉将五个内顶点均与中心连结，把五角星五等分已“足够短”了，
但它破坏了太多的“规矩”！不知该怎么解释。
gxqcn 发表于 2010-11-24 10:04

这个构造最佳划分方案有些困难，但是要构造一个比上面方法好的不难。
实际上对于任意4条以上分界线共点的都可以通过类似方法来处理。
对于4条以上分界线共点的，其中必然有两条分界线夹角不超过90度（所以小于120度）。
于是，我们可以在这两条夹角内部添加一个点，以及分别通向这两条分界线另外端点和公共端点的三条圆弧，使得它们两两夹角为120度，并且曲率之和为0，来替换原先两条分界线并且要保持重新分界的面积相等。如果我们只查看这两条分解线公共的区域以及它们两边的区域共三个区域，我们可以知道这时还是相当于是三条分界线共点的问题，而我们构造出来的是这个问题的最优解；而原先给出的是这个点正好移动到边界上一个点的情况（非最优情况），自然改变以后的方案比原先的方案更加好

mathe

在59#中利用计算机(maxima)辅助得到了公式：
${({f'(\theta_a)}/{L_ag'(\theta_a)}+{f'(\theta_b)}/{L_bg'(\theta_b)}+{f'(\theta_c)}/{L_cg'(\theta_c)}=0),({\delH}/{\delx_p}=sum ({x_p-x_a}/{L_a}(f(\theta_a)-{2g(\theta_a)f'(\theta_a)}/{g'(\theta_a)})+4{y_a-y_p}/{L_a}{f'(\theta_a)}/{g'(\theta_a)})=0),({\delH}/{\dely_p}=sum ({y_p-y_b}/{L_a}(f(\theta_a)-{2g(\theta_a)f'(\theta_a)}/{g'(\theta_a)})-4{x_a-x_p}/{L_a}{f'(\theta_a)}/{g'(\theta_a)})=0):}$
没想到手工化简了一下，发现${f'(x)}/{g'(x)}={sin(x)}/4$(看来maxima实在弱了一些)
于是$f(x)-{2g(x)f'(x)}/{g'(x)}={sin(2x)}/{2sin(x)}$
公式可以简化为:
${({sin(\theta_a)}/{L_a}+{sin(\theta_b)}/{L_b}+{sin(\theta_c)}/{L_c}=0),({\delH}/{\delx_p}=sum ({x_p-x_a}/{L_a}cos(\theta_a)-{y_p-y_a}/{L_a}sin(\theta_a))=0),({\delH}/{\dely_p}=sum ({y_p-y_a}/{L_a}cos(\theta_a)+{x_p-x_a}/{L_a}sin(\theta_a))=0):}$
现在几何意义也很明显，其中第一个条件就是三条圆弧的曲率之和为0.
而后面两条约束条件就是将单位化的向量$PA,PB,PC$各自旋转角度$\theta_a,\theta_b,\theta_c$得到的三个向量(正好是三个切线向量)之和为0向量。

gxqcn

64# mathe


mathe 的改进让我对坚守规则有了一线希望。
既然可以成功的将中间共点的分界线由5降为4，就可以再降为3，
方法如下：将左下角改进部分绕中心旋转144°覆盖原图形即可。
但此时中间的三叉线夹角为：108°--144°--108°，与我们的120°还有偏差，
那么可以适当微调其角度，甚至微移该结点（无需保证非得在五角星正中心）来实现。
只是最终的结果计算不太容易。

056254628

谁能系统讨论一下一般三角形(边长分别为a、b、c)的两等分面积的最短分界线问题。
我觉得还是有点复杂。
1.分界线是否一定是直的？
2.分界线的端点是否一定如此：
    一端在最长边上，另一端在次长的边上（或次长边和最短边的交点）？
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如果还是要求分界线必须与边界垂直，那么，分界线就只能是圆弧了。
但如果计算出来的结果：最短分界线是直线，那么上述讨论出来的规则就不成立了。
那么我们就要说明哪些情况下规则成立，哪些情况下规则不成立。

gxqcn

估计是一个以最小内角顶点为圆心的一段圆弧吧。

056254628

如果是一个以最小内角顶点为圆心的一段圆弧，那么这段圆弧与边界垂直的规则就可能不成立了。
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哈哈，想错了，是垂直的。

056254628

设三角形，a>=b>=c,边a和边b的夹角为C，
那么如果分界线为直线，那么最短距离=$sqrt(a*b*(1-cos(C)))$
如果是68楼所说的圆弧，那么长度=$sqrt(a*b*sin(C)*C/2)$
比较它们的大小就可以了。