均分田地，田埂最短问题

mjs1wh

hujunhua 的实验值得期待，更对红色肥皂水配方感兴趣，肥皂泡膜这么溥，白色的也成五颜六色了，不知还能不能显出本色来。
当n很大时，中心部分应该就是“蜂窝状”了，估计○形内n=7时，中心就是一个正六边形了

mathe

这个题目应该可以计算机模拟一下。
比如假设有n种不同的质点，每种质点有k个，分布在一个正方形中，任意两个质点之间有排斥力$c/{r^u}$,其中
c是常数，根据两个质点是否同一种可以取两个不同的值（不同物质之间排斥力略大）。而其中u我不知道取多少比较合理，也许是1或2.
然后看模型状态平稳下来以后是何状态，很可能就可以给出本题一些比较合理的解。

mjs1wh

多质点模拟很不容易，我以前做过多天体的模拟，很不成功，很难达到平稳的状态

mathe

我们只需要求稳定状态，实际上是解一个高阶方程

gxqcn

31# mjs1wh


对圆7等分，确实比较简单，中间一个正六边形，再从顶点向外辐射连接到圆周上，总长度=6倍圆半径。
如果不强求面积的均等性，中间的正六边形可以收缩，仍然可以满足稳定性，且总长度保持不变。

由此，提出两个新问题：
1、当中间的正六边继续收缩直至成一个点时（即当n=7坍塌成n=6时），此时破坏了我们先前归纳的规律，如何形成一个新的平衡？是什么样子？
2、原问题不同构的最佳解是否唯一？（同构解是指：经过有限次的旋转、镜像、平移及其组合过程，一解可转化成另一解）

mathe

参考火车站问题n=6的解，我们可以构造如下图类型的图案:

图片上下对称，其中4条圆弧全部是30度圆弧。
这个应该比等分六份强。只是具体计算坐标还是挺复杂的。

gxqcn

我当时就是看到 Key 版出的这个车站题目，以及大家画的一些图形，
才联想到这个问题的，当时就感觉到它们也许可以相互借鉴。
只是这里的分界线（“田埂”）不再局限于线段，比较难处理。

gxqcn

36# mathe


比较好奇，为什么GH、JK 及 HK 段没有假设成弧线？

mathe

我们可以利用角度来推断。
比如AEGNF等四个“五边形”中，我们知道内角和要求是90*3+120*2=510,比正常五边形小30度
所以只要一条凹向内部的30度弧就可以到达调整的目的。
而AEGNF中FN根据对称性应该是直线段，比较合适的是调整NG.
然后计算五边形NGHJK,在经过NG和NJ角度的调整后，总角度已经匹配，所以这时我选择GH,HK,KJ都是直线段。

wayne

好题。
很想参与进来。。。
在我印象中，国外有专门讨论过这种类型的划分问题的，只可惜我一时还没有搜着