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楼主: gxqcn

[原创] 均分田地,田埂最短问题

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发表于 2010-11-13 13:34:40 | 显示全部楼层
hujunhua 的实验值得期待,更对红色肥皂水配方感兴趣,肥皂泡膜这么溥,白色的也成五颜六色了,不知还能不能显出本色来。
当n很大时,中心部分应该就是“蜂窝状”了,估计○形内n=7时,中心就是一个正六边形了
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-11-14 13:02:33 | 显示全部楼层
这个题目应该可以计算机模拟一下。
比如假设有n种不同的质点,每种质点有k个,分布在一个正方形中,任意两个质点之间有排斥力$c/{r^u}$,其中
c是常数,根据两个质点是否同一种可以取两个不同的值(不同物质之间排斥力略大)。而其中u我不知道取多少比较合理,也许是1或2.
然后看模型状态平稳下来以后是何状态,很可能就可以给出本题一些比较合理的解。
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发表于 2010-11-14 18:55:54 | 显示全部楼层
多质点模拟很不容易,我以前做过多天体的模拟,很不成功,很难达到平稳的状态
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发表于 2010-11-14 20:10:22 | 显示全部楼层
我们只需要求稳定状态,实际上是解一个高阶方程
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 楼主| 发表于 2010-11-15 07:47:31 | 显示全部楼层
31# mjs1wh


对圆7等分,确实比较简单,中间一个正六边形,再从顶点向外辐射连接到圆周上,总长度=6倍圆半径。
如果不强求面积的均等性,中间的正六边形可以收缩,仍然可以满足稳定性,且总长度保持不变。

由此,提出两个新问题:
1、当中间的正六边继续收缩直至成一个点时(即当n=7坍塌成n=6时),此时破坏了我们先前归纳的规律,如何形成一个新的平衡?是什么样子?
2、原问题不同构的最佳解是否唯一?(同构解是指:经过有限次的旋转、镜像、平移及其组合过程,一解可转化成另一解)
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发表于 2010-11-16 13:15:12 | 显示全部楼层
参考火车站问题n=6的解,我们可以构造如下图类型的图案:
ct.JPG
图片上下对称,其中4条圆弧全部是30度圆弧。
这个应该比等分六份强。只是具体计算坐标还是挺复杂的。
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 楼主| 发表于 2010-11-16 14:48:56 | 显示全部楼层
我当时就是看到 Key 版出的这个车站题目,以及大家画的一些图形,
才联想到这个问题的,当时就感觉到它们也许可以相互借鉴。
只是这里的分界线(“田埂”)不再局限于线段,比较难处理。
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 楼主| 发表于 2010-11-16 14:58:01 | 显示全部楼层
36# mathe


比较好奇,为什么GH、JK 及 HK 段没有假设成弧线?
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发表于 2010-11-16 16:35:31 | 显示全部楼层
我们可以利用角度来推断。
比如AEGNF等四个“五边形”中,我们知道内角和要求是90*3+120*2=510,比正常五边形小30度
所以只要一条凹向内部的30度弧就可以到达调整的目的。
而AEGNF中FN根据对称性应该是直线段,比较合适的是调整NG.
然后计算五边形NGHJK,在经过NG和NJ角度的调整后,总角度已经匹配,所以这时我选择GH,HK,KJ都是直线段。
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发表于 2010-11-16 17:06:10 | 显示全部楼层
好题。
很想参与进来。。。
在我印象中,国外有专门讨论过这种类型的划分问题的,只可惜我一时还没有搜着
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