均分田地，田埂最短问题

gxqcn

下面讨论半径为1的圆，$n$ 等分问题。

$n=7$ 时，前已讨论，中间一正六边形，顶点向圆周辐射，总边界长度=6；

$n=6$ 时，中间一梅花形，每瓣是以2.574半径为半径，12°为圆心角的圆弧，5个顶点向圆周辐射（各长0.5423），总边界长度=5.407

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最简单的情形：
$n=2$: 用直径等分，总长度=2；
$n=3$: 用夹角互为$120$度的半径等分，总长度=3；

gxqcn

$n=5$ 时，中间四段圆弧（弧度为30°，半径为0.8006），四个接点处向圆周辐射（各长0.7070），总边界长度=4.505

圆弧与线段间、及圆弧与圆弧间均呈120°夹角。


2010-11-22 9:00 修正：
推导中有一处失误，在53# hujunhua 已修正，圆弧半径=$sqrt((3*pi)/(5*(pi-3*(sqrt3-1))))=1.4119961813351850581103676413843$。

gxqcn

$n=4$ 时，试图按我们先前总结的规律依葫芦画瓢：
中间三段圆弧（弧度为60°，半径为=$sqrt(pi/(2*(pi-sqrt3)))$），三个接点处向圆周辐射（各长0.3905），总边界长度=$sqrt(pi*(pi-sqrt3)//2)+3=4.487$

此方案虽然比中间用一个半径=0.5的圆（其面积正好为大圆的1/4）略好，因为用圆则总长度=$pi+3//2=4.642$，
但居然不如直接用两条相互垂直的直径来得短（=4）！

也许还得再考察“>-<”型的田埂边界，似乎可以更优，但精确计算有点麻烦。。。

gxqcn

...应该有相同的性质：
i)内部分界线每一段必然是圆弧或直线段（可以看成圆弧的退化情况）
ii)在内部，最多三个不同的分界线共点，这时必然两两夹角相等
iii)分界线和边界接触的地方必然同边界垂直
mathe 发表于 2010-11-12 17:00

是否可以补加一条：
iV) 如果有满足上述条件的多种方案，则节点数目少的总长度更短。

056254628

单位正方形，n=6，经计算：堤坝总长=2.94339327592945



坐标如下：
(0.150703435198211,0.5)
(0.416300833333333,0.765597398135122)
(0.618153518895309,0.64905784612089)
(1,0.751373302365558)

KeyTo9_Fans

这种方案如何？

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通过圆心的线段长=0.315748539305578
另四条线段长=0.911672165673151
总长度=3.96243720199818
内部交点的三条线夹角都是120度。
但是线与边界的夹角却不是90度，违反了与边界垂直的潜规则。

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通过计算上述类型的图，以下值得到最小值：
通过圆心的线段L1长=0.219763274056817
另四条辐射线段长=0.932873745971089
总长度=3.95125825794117
L1与四条辐射线的夹角=2.18215528143715 ，换成角度约等于125°

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47楼图，凭直觉，总长应该大于两横一竖的方案，也就是说会大于3。