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楼主: gxqcn

[原创] 均分田地,田埂最短问题

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 楼主| 发表于 2010-11-19 10:45:12 | 显示全部楼层
下面讨论半径为1的圆,$n$ 等分问题。

$n=7$ 时,前已讨论,中间一正六边形,顶点向圆周辐射,总边界长度=6;

$n=6$ 时,中间一梅花形,每瓣是以2.574半径为半径,12°为圆心角的圆弧,5个顶点向圆周辐射(各长0.5423),总边界长度=5.407
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发表于 2010-11-19 15:00:17 | 显示全部楼层
最简单的情形:
$n=2$: 用直径等分,总长度=2;
$n=3$: 用夹角互为$120$度的半径等分,总长度=3;
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 楼主| 发表于 2010-11-19 15:11:53 | 显示全部楼层
$n=5$ 时,中间四段圆弧(弧度为30°,半径为0.8006),四个接点处向圆周辐射(各长0.7070),总边界长度=4.505

圆弧与线段间、及圆弧与圆弧间均呈120°夹角。


2010-11-22 9:00 修正:
推导中有一处失误,在53# hujunhua 已修正,圆弧半径=$sqrt((3*pi)/(5*(pi-3*(sqrt3-1))))=1.4119961813351850581103676413843$。
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 楼主| 发表于 2010-11-19 16:20:55 | 显示全部楼层
$n=4$ 时,试图按我们先前总结的规律依葫芦画瓢:
中间三段圆弧(弧度为60°,半径为=$sqrt(pi/(2*(pi-sqrt3)))$),三个接点处向圆周辐射(各长0.3905),总边界长度=$sqrt(pi*(pi-sqrt3)//2)+3=4.487$

此方案虽然比中间用一个半径=0.5的圆(其面积正好为大圆的1/4)略好,因为用圆则总长度=$pi+3//2=4.642$,
但居然不如直接用两条相互垂直的直径来得短(=4)!

也许还得再考察“>-<”型的田埂边界,似乎可以更优,但精确计算有点麻烦。。。
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 楼主| 发表于 2010-11-19 16:48:16 | 显示全部楼层
...应该有相同的性质:
i)内部分界线每一段必然是圆弧或直线段(可以看成圆弧的退化情况)
ii)在内部,最多三个不同的分界线共点,这时必然两两夹角相等
iii)分界线和边界接触的地方必然同边界垂直
mathe 发表于 2010-11-12 17:00


是否可以补加一条:
iV) 如果有满足上述条件的多种方案,则节点数目少的总长度更短。
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发表于 2010-11-21 03:02:49 | 显示全部楼层
单位正方形,n=6,经计算:堤坝总长=2.94339327592945

zd6.jpg

坐标如下:
(0.150703435198211,0.5)
(0.416300833333333,0.765597398135122)
(0.618153518895309,0.64905784612089)
(1,0.751373302365558)
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发表于 2010-11-21 12:21:00 | 显示全部楼层
这种方案如何?

devide_square_into_6_parts.PNG
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发表于 2010-11-21 12:36:03 | 显示全部楼层
zdY4.jpg


通过圆心的线段长=0.315748539305578
另四条线段长=0.911672165673151
总长度=3.96243720199818
内部交点的三条线夹角都是120度。
但是线与边界的夹角却不是90度,违反了与边界垂直的潜规则。

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gxqcn + 3 四条长线段微调成圆弧后,可能会更短。

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发表于 2010-11-21 13:26:04 | 显示全部楼层
通过计算上述类型的图,以下值得到最小值:
通过圆心的线段L1长=0.219763274056817
另四条辐射线段长=0.932873745971089
总长度=3.95125825794117
L1与四条辐射线的夹角=2.18215528143715 ,换成角度约等于125°
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发表于 2010-11-21 13:33:01 | 显示全部楼层
47楼图,凭直觉,总长应该大于两横一竖的方案,也就是说会大于3。
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