均分田地，田埂最短问题

KeyTo9_Fans

如果中间的田地由$4$段$30$度的圆弧组成，如下图所示：



那么总长度为$2*(1-\sqrt(2)*a)+\pi*(\sqrt(2)+\sqrt(6))*a/3$

约等于$2.5021129304271862327055851940087$

其中，$a=\sqrt(3)/\sqrt(5*(2+sqrt(3))*(pi-3)+15)$

KeyTo9_Fans

当$N=4$时，不知道这种方案是否更优？



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如果两个角落都由$2$条$30$度的圆弧围成，那么总长度约为

$1.9969623818645855280430050484496$

比直接分成$4$个小正方形的方案略优。

KeyTo9_Fans

当$N=3$时，一种可行解是：

横切一刀，分成面积为$1/3$和$2/3$的两个矩形；

然后在面积$2/3$的矩形上竖切一刀，分成两个面积为$1/3$的矩形。

总长度为$5/3$。

如果横切一刀改成两段$30$度的圆弧线，如下图所示：



那么总长度约为

$1.6232781441571848631256354825897$

比$5/3$略优。

猜想：上面几幅图所展示的$N=5$、$N=4$、$N=3$的方案中，设圆弧线的度数为$x$，则$x$为$30$时，总长度最短。

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更正：

当$N=4$时应该是$15$度。

此时总长度为

$1.9755928847815005159164652585136$。

gxqcn

在 $N=5$ 时，我直觉感觉中间的那个正方形“太正”，四边可以略微弯一点，但不知该朝哪侧弯，
感谢 KeyTo9_Fans 的解答，并纠正了我之前 $N=4$ 的“想当然”造成的错误。

比较好奇的是：KeyTo9_Fans 为什么会想到那些弧线度数为30°或15°？

gxqcn

会不会所求的田埂构成除了由线段及圆弧外，还可能含有其它类型曲线？

我认为不大可能。因为我们的问题是线总长最短问题，
而线段具有“两点之间线段最短”的特性，以及圆具有“面积相等周长圆最小”的特性，
所以，这两类曲线有其自身的优越性。

但在严格证明之前，暂无法排除有其它曲线出现的可能，
尤其是当待分地块本身就是由任意曲线围成时。

这个问题粗看似乎简单：不涉及到微积分运算，比较初等，
但现在看来，似乎也并不简单。

mathe

Fans 11#的答案正好是他这种模式的图形中最有的，挺神奇的。
设正方形边长为1，假设这种图形中中间4段圆弧弧度为2t,对应半径为r,那么我们知道中间部分面积为
$4r^2(t-1/2sin(2t)+sin^2(t))=1/5$
而田埂总长度为$8rt+2(1-2sqrt(2)rsin(t))=2+4r(2t-sqrt(2)sin(t))$
根据第一个条件可以得出$r^2=1/{20(t-1/2sin(2t)+sin^2(t))}$
而我们要求$r(2t-sqrt(2)sin(t))$最小，也就是$r^2(2t-sqrt(2)sin(t))^2$最小
将$r^2$消去，变成求函数${(2t-sqrt(2)sin(t))^2}/{t-1/2sin(2t)+sin^2(t)}$的最小值的条件。
比较有意思的是这么复杂的一个函数，它的最小值竟然正好在$t=pi/12$时取到（通过数值计算100位验证，但是没有严格证明）

mathe

12# KeyTo9_Fans
hujunhua提到三条线交叉的点出夹角应该是${2pi}/3$, 并且圆弧应与既有边界保持垂直，不知道有什么理论依据，不过感觉这个结论应该很正确。于是对于12#的这种方案，我们应该选择两个中间的点都是三个夹角各${2pi}/3$,并且各个圆弧同边界相垂直，如图：

由此，得出四条圆弧应该都是15度($pi/12$)，于是最终总长度为
1.9755928847815
其中大圆半径为$sqrt({3*sqrt(2)}/{sqrt(2)pi-12sin(pi/12)})$

gxqcn

果然是强人啊！
hujunhua 评分里的描述我读了几遍，还有点迷迷糊糊，幸亏有 mathe 进行了上面的描述。

KeyTo9_Fans

理论依据是：

设三角形$ABC$，最大的角小于$120$度。

在三角形内部找一个点$P$，使得$|PA|+|PB|+|PC|$最小，

那么$/_APB=/_BPC=/_CPA=120^@$。

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如下图所示，如果$3$条曲线的交角不是$120$度，我们总可以调整成$120$度。



造成的面积差异可通过旋转三角形外的曲线弥补。

于是调整后仍然满足平分面积的条件，但是总长度缩短了。

gxqcn

费马点？