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楼主: gxqcn

[原创] 均分田地,田埂最短问题

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发表于 2010-11-11 19:38:51 | 显示全部楼层
如果中间的田地由$4$段$30$度的圆弧组成,如下图所示:

devide_square.PNG

那么总长度为$2*(1-\sqrt(2)*a)+\pi*(\sqrt(2)+\sqrt(6))*a/3$

约等于$2.5021129304271862327055851940087$

其中,$a=\sqrt(3)/\sqrt(5*(2+sqrt(3))*(pi-3)+15)$

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gxqcn + 3 这个圆弧处理得有创意

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发表于 2010-11-11 23:56:05 | 显示全部楼层
当$N=4$时,不知道这种方案是否更优?

devide_square_into_4_parts.PNG

#####

如果两个角落都由$2$条$30$度的圆弧围成,那么总长度约为

$1.9969623818645855280430050484496$

比直接分成$4$个小正方形的方案略优。
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发表于 2010-11-12 01:28:23 | 显示全部楼层
本帖最后由 KeyTo9_Fans 于 2010-11-12 01:44 编辑

当$N=3$时,一种可行解是:

横切一刀,分成面积为$1/3$和$2/3$的两个矩形;

然后在面积$2/3$的矩形上竖切一刀,分成两个面积为$1/3$的矩形。

总长度为$5/3$。

如果横切一刀改成两段$30$度的圆弧线,如下图所示:

devide_square_into_3_parts.PNG

那么总长度约为

$1.6232781441571848631256354825897$

比$5/3$略优。

猜想:上面几幅图所展示的$N=5$、$N=4$、$N=3$的方案中,设圆弧线的度数为$x$,则$x$为$30$时,总长度最短。

#####

更正:

当$N=4$时应该是$15$度。
s4.png
此时总长度为

$1.9755928847815005159164652585136$。
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 楼主| 发表于 2010-11-12 07:32:49 | 显示全部楼层
在 $N=5$ 时,我直觉感觉中间的那个正方形“太正”,四边可以略微弯一点,但不知该朝哪侧弯,
感谢 KeyTo9_Fans 的解答,并纠正了我之前 $N=4$ 的“想当然”造成的错误。

比较好奇的是:KeyTo9_Fans 为什么会想到那些弧线度数为30°或15°?

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hujunhua + 4 并保持圆弧与既有边界垂直

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 楼主| 发表于 2010-11-12 07:45:54 | 显示全部楼层
会不会所求的田埂构成除了由线段及圆弧外,还可能含有其它类型曲线?

我认为不大可能。因为我们的问题是线总长最短问题,
而线段具有“两点之间线段最短”的特性,以及圆具有“面积相等周长圆最小”的特性,
所以,这两类曲线有其自身的优越性。

但在严格证明之前,暂无法排除有其它曲线出现的可能,
尤其是当待分地块本身就是由任意曲线围成时。

这个问题粗看似乎简单:不涉及到微积分运算,比较初等,
但现在看来,似乎也并不简单。
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发表于 2010-11-12 08:41:29 | 显示全部楼层
Fans 11#的答案正好是他这种模式的图形中最有的,挺神奇的。
设正方形边长为1,假设这种图形中中间4段圆弧弧度为2t,对应半径为r,那么我们知道中间部分面积为
$4r^2(t-1/2sin(2t)+sin^2(t))=1/5$
而田埂总长度为$8rt+2(1-2sqrt(2)rsin(t))=2+4r(2t-sqrt(2)sin(t))$
根据第一个条件可以得出$r^2=1/{20(t-1/2sin(2t)+sin^2(t))}$
而我们要求$r(2t-sqrt(2)sin(t))$最小,也就是$r^2(2t-sqrt(2)sin(t))^2$最小
将$r^2$消去,变成求函数${(2t-sqrt(2)sin(t))^2}/{t-1/2sin(2t)+sin^2(t)}$的最小值的条件。
比较有意思的是这么复杂的一个函数,它的最小值竟然正好在$t=pi/12$时取到(通过数值计算100位验证,但是没有严格证明)

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gxqcn + 3 这样的推理让人信服。

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发表于 2010-11-12 10:30:30 | 显示全部楼层
12# KeyTo9_Fans
hujunhua提到三条线交叉的点出夹角应该是${2pi}/3$, 并且圆弧应与既有边界保持垂直,不知道有什么理论依据,不过感觉这个结论应该很正确。于是对于12#的这种方案,我们应该选择两个中间的点都是三个夹角各${2pi}/3$,并且各个圆弧同边界相垂直,如图:
ct.JPG
由此,得出四条圆弧应该都是15度($pi/12$),于是最终总长度为
1.9755928847815
其中大圆半径为$sqrt({3*sqrt(2)}/{sqrt(2)pi-12sin(pi/12)})$
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 楼主| 发表于 2010-11-12 10:37:25 | 显示全部楼层
果然是强人啊!
hujunhua 评分里的描述我读了几遍,还有点迷迷糊糊,幸亏有 mathe 进行了上面的描述。
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发表于 2010-11-12 10:53:49 | 显示全部楼层
理论依据是:

设三角形$ABC$,最大的角小于$120$度。

在三角形内部找一个点$P$,使得$|PA|+|PB|+|PC|$最小,

那么$/_APB=/_BPC=/_CPA=120^@$。

#####

如下图所示,如果$3$条曲线的交角不是$120$度,我们总可以调整成$120$度。

best_devide.PNG

造成的面积差异可通过旋转三角形外的曲线弥补。

于是调整后仍然满足平分面积的条件,但是总长度缩短了。

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zgg___ + 1

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 楼主| 发表于 2010-11-12 10:56:43 | 显示全部楼层
费马点?
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