均分田地，田埂最短问题

mathe · 发表于 2019-4-16 10:43:02

四等分在84#

mathe · 发表于 2019-5-31 08:17:00

法语链接:
http://www.diophante.fr/images/stories/d447jn.pdf
http://www.diophante.fr/images/stories/d447cb.pdf

mathe · 发表于 2019-6-1 08:32:14

zgg___ · 发表于 2019-6-4 15:55:37

分析了mathe的了不起的结果。发现了一个规律，就是所有的类似于DC那样的分隔线（的延长线）也都垂直于边界。
深入一下想想，可以用“物理”方法“证明”。当然这个“证明”是属于马后炮啦。哈哈。
如胡子等人提到的泡泡模型，简化到平面中，可想象为单位圆被一些钢丝分为一些区域，当达到平衡时，应满足：
1、这些钢丝上的每个点的应力F的大小都是相同（相同根钢丝和不同根之间都相同）；
2、每个区域有一个压强P，钢丝的曲率正比于其分割区域的压强差；
例如下图中对应的三块压强是相同的，所以对应部分的分割线也是相同的，可以认为右图是左图变化而来的。

zgg___ · 发表于 2019-6-4 16:54:00

单位圆

n	l	where	who
1	0	-	-
2	2	-	-
3	3	-	-
4	3.945702967	84#	mathe
5	4.833846644	87#	mathe
6	5.644234643	57#	56254628
7	6	-	zgg__
8	6.64723101838021	104#	数学星空

正方形

n	l	where	who
1	0	-	-
2	1	-	-
3	1.62327814415718	13#	KeyTo9_Fans
4	1.97559288478	13#	KeyTo9_Fans
5	2.5021129304	11#	KeyTo9_Fans
6	2.93994625160691	114#	mathe

mathe · 发表于 2019-6-4 18:10:20

查看已知最优答案中内部点和边界点的数目分别为
0,2
1,3
2,4
3,5
4,6
可以推测7个区域使用5个内部点，7个边界点
这个比较难构造，倒是8个区域使用6个内部点，8个边界点的容易

mathe · 发表于 2019-6-4 19:14:24

7个区域很有可能会发生质变，内部6点边界6点

数学星空 · 发表于 2019-6-4 21:12:31

关于93#提到的结论:下面有更有趣的介绍

https://youliao.163yun.com/api-s ... A&from=timeline

另外最短构型:边界\(n\)个点，内部最多\(n-2\)的结论应该是正确的(可以看成斯坦纳猜想的推广)

最短构型的总长度\(L(n)\)与n的比值应该趋向于一个常数,我们可以称为mathe 常数?

斯坦纳比猜想:对欧氏平面上的任何有限点集，其最小的Steiner树同最小发生树的长度之比(称为Steiner比，即斯坦纳比)不小于√3/2

关于斯坦纳比猜想的介绍见:

https://www.xuebuyuan.com/3191323.html

mathe · 发表于 2019-6-6 20:06:43

6个区域改为对称的圆弧五边形居中占面积pi/6,好像可以改进到5.40679693,其中此"五边形"顶点到中心距离为0.45779,五条曲边长度都是0.53915,它们是半径为2.57425,圆心角为12°的圆弧

mathe · 发表于 2019-6-7 19:36:45

正方形5份还得考虑下图模式，而这个版本的直线段近似版本(三条垂直线段和四条倾向角正负30°的线段)好像结果就只有2.41，优于前面Fans的中心对称版本，所以这个结果应该更优

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