均分田地，田埂最短问题

mathe

我们缺失的是边界上不光滑点处的分析，小范围内可以看成两射线构成一个角。显然如果这个角小于平角，根据上一楼的分析，田梗如果到达此点，必然和边界一侧夹角小于直角，矛盾，所以这种不光滑点不能有田梗到达。而对于张角大于平角的不光滑点，同样，如果有一条田梗发出，必然同两测夹角都不小于直角。而如果发出两条田梗，那么除了各自同边界夹角不小于直角外，两者夹角也不小于120度。所以只有在不光滑边界点对内张角不小于300度时，才可能发出两条田梗。

mathe

非常有意思，试着将本题中数据用google搜索，
结果对于3个区域，搜索到法国人的讨论：
https://translate.google.com/tra ... tml&prev=search
作者： Imod »2012年1月13日，20：26
大致的答案是：1,623278144 ......
但我们可以毫无问题地给出确切的价值。

对于4个区域的结果，可以搜索到意大利人的结果
https://translate.google.com/tra ... htm&prev=search
来自：“El Filibustero”<spalland@comune.re.it>
日期：2000年7月8日星期六11.24
>结合前面消息中的所有考虑因素，我发现了这个推理的1.975593（错误除外）：
> ...
>然后，给定x从中间距离（距离PH = 1/2-x）>被认为是x的任意值，我构造三角形PHU，其中> U的角度为15度
OK！ 假设弧的角度宽度为15度，则无需经过反复试验。 该地区的条件
（x和r参考我的帖子）
r ^ 2 arcsin（x / r） - x * sqrt（r ^ 2-x ^ 2）+ x ^ 2 = 1/4
给出非近似结果：
r = sqrt（3 /（pi-3sqrt（3）+3））
x = r（sqrt（6）-sqrt（2））/ 4 = sqrt（3 /（pi-3sqrt（3）+3））*（sqrt（6）-sqrt（2））/ 4
在公式中替换的长度给出了确切的值
sqrt（3）/ 3 sqrt（pi-3sqrt（3）+3）+ sqrt（2）= ~1.975592884
表达x和r作为alpha（弧的宽度）的函数而不是反之亦然（正如我所做的那样）是一个很好的想法，可以导致正式演示，而不经过反复试验。
实际上，通过对区域的约束，可以表示切割的长度，仅作为alpha的函数：
长度=
SQRT（2）*（（*阿尔法SQRT（2）-sin（阿尔法））/ SQRT（α-SIN（2alpha）/ 2 + SIN（阿尔法）^ 2）+1）
关于α的导数等于0给出了超越方程，但是至少可以通过α= pi / 12来验证。 这正式表明了这一点
sqrt（3）/ 3 sqrt（pi-3sqrt（3）+3）+ sqrt（2）= ~ 1.975592884
是我之前提到的削减类别中的最小削减

如果搜索5个区域的结果，给出了一堆不错的结果，其中H14中第二问就是这个问题:
http://plouffe.fr/simon/Phys%20e ... 0Math%20Puzzles.pdf
H14. Minimum Cutting Length.What is the minimum cut-length needed
to divide
(a) a unit-sided equilateral triangle into four parts of equal area?
(b) a unit square, into five parts of equal area?
(c) an equilateral triangle into five parts of equal area?
H14. (a) Length = 1:342181807 as shown.
(b) Length = 2:50211293 as shown.
(c) Unknown
H14. From Robert T. Wainwright (private communication)

mathe

gxqcn 发表于 2010-11-19 16:20
$n=4$ 时，试图按我们先前总结的规律依葫芦画瓢：
中间三段圆弧（弧度为60°，半径为=$sqrt(pi/( ...

中间三段圆弧的相交点构成一个正三角形，边长r即这三段圆弧半径。根据中间这块面积为$pi/4$可以得出三个扇形面积减去两个三角形面积为$pi/4$,即$3*1/2 *{\pi}/3*r^2-2*1/2*\sin({\pi}/3)*r^2={\pi}/4$
可以得出$r=\sqrt(\frac{\pi}{2(\pi-\sqrt(3))})=1.0556524299493429538809290102236743268$
于是分界线总长为4.4879862748672625217959449509555691231
竟然还大于四个半径等分的情况？？

mathe

上面方案结果不好，但是我们可以选择另外一个方案，也就是在圆心附近找到对称两点（距离圆心距离为a),各自向圆周做一段垂直的圆弧，要求这个圆弧垂直圆周，而且和两点连线夹角为60度，同样还要作出对称圆弧，它们和两点连线一起将圆分成面积相同四份。
计算得到这段圆弧弧度是$\theta=0.19852240346429489833853950252807820517$时面积等分。对应a=0.12201015667671759164398812269422407046
最后得出边界长度为3.9457029672671857138428995521117991889

更多圆形结果在176#,高精度数值结果在186#
正方形结果在177#

mathe

将圆划分成5份等面积的图，53#hujunhua给出了全对称情况的构图，取得不错的结果，
但是我们应该还需要比较类似下图的构图，这个图需要上面对称，然后出了线段CB以外其它都可以是圆弧。
只是这种情况的计算量很大

mathe

59#的公式定义了$f(x)=x/{sin(x)},g(x)={2x-sin(2x)}/{sin^2(x)}$
而后面得出的约束条件内部都使用了表达式${f'(x)}/{g'(x)}$和$f(x)-{2g(x)f'(x)}/{g'(x)}$
大家显然都被这两个复杂的表达式吓坏了，完全没有想到去简化它们，今天试着用在线mathematica计算了一下，结果大跌眼镜，这表达式也实在太简单了
计算结果表示${f'(x)}/{g'(x)}={sin(x)}/4，f(x)-{2g(x)f'(x)}/{g'(x)}=cos(x)$  (https://www.wolframalpha.com/inp ... x))%2Fsin(x)%5E2,x))和(https://www.wolframalpha.com/inp ... (2x))%2Fsin(x)%5E2))

于是59#最后得出的约束条件可以简化为
$\sum_a{\sin(\theta_a)}/{L_a}=0$
$\sum _a{(x_p-x_a)\cos(\theta_a)+(y_p-y_a)\sin(\theta_a)}/{L_a}=0$
$\sum _a{(y_p-y_a)\cos(\theta_a)-(x_p-x_a)\sin(\theta_a)}/{L_a}=0$
其中$L_a=\sqrt((x_p-x_a)^2+(y_p-y_a)^2)$
其中第一个表达式表示三曲率之和为0，第二第三表达式表示三条单位切线两两夹角为120°。
于是在一般情况，对于给定$(x_a,y_a),(x_b,y_b),(x_c,y_c)$,我们根据上面3条约束方程，加上两条要求三部分面积分布的约束方程，就可以求解出$x_p,y_p,\theta_a,\theta_b,\theta_c$

mathe

hujunhua 发表于 2010-11-21 22:29
n=5时，我的计算结果是：
中间四段圆弧（弧度为30°，半径为1.4119961813351850581103676413843），
四个 ...

单位圆分成5个区域的数据更新

边界长度4.83384664352739678365771592855759637171533663888553794254033859014301160159103050453700603869825

hujunhua

mathe 发表于 2019-4-2 12:47
单位圆分成5个区域的数据更新

边界长度4.849346

有道理。
没有中心区块。充分利用周界，由 8 段田埂减少到 7 段田埂。

王守恩

mathe 发表于 2019-3-29 17:00
上面方案结果不好，但是我们可以选择另外一个方案，也就是在圆心附近找到对称两点（距离圆心距离为a),各自 ...

mathe！4 等分圆我想搞个算式出来(为后面的大数铺垫)。
借 84# 图。过圆心 O 作垂直直径，与圆周(下方)的交点为 A，
过圆心 O 作水平直径，在水平直径上找一点 P，B 是圆周上的点，
三角形 OPB 的面积=扇形(45°-∠AOB)的面积
4 等分圆边界长度=(PB+PO/2)×4
我就是不知道这2个方程怎么解，求助各位！

王守恩

056254628 发表于 2010-11-21 12:36
通过圆心的线段长=0.315748539305578
另四条线段长=0.911672165673151
总长度=3.96243720199818

借 48# 的图及数据，说透切一点，在这基础上再来作圆弧调整(算法是相通的)。

\(\D\frac{1.00000}{\sin120°}=\frac{0.91167}{\sin52.1417°}=\frac{0.31575/2}{\sin7.8583°}\)

三角形面积\(\D=\frac{\sin52.1417°}{\sin120°}\cdot\frac{\sin7.8583°}{\sin120°}\cdot\sin120°\cdot\frac{1}{2}=0.0623233\)

               扇形面积\(\D=\frac{(52.1417°-45°)\cdot\pi}{360°}=0.0623233\)

\(120°时，4 等分圆边界长度=0.91167\times 4+0.31575=3.9624372\)
同理可得：
\(121°时，4 等分圆边界长度=0.91531\times 4+0.14862\times 2=3.95847\)
\(122°时，4 等分圆边界长度=0.91922\times 4+0.13924\times 2=3.95535\)
\(123°时，4 等分圆边界长度=0.92343\times 4+0.12970\times 2=3.95311\)
\(124°时，4 等分圆边界长度=0.92792\times 4+0.12002\times 2=3.95173\)
\(125°时，4 等分圆边界长度=0.93273\times 4+0.11016\times 2=3.95126\)

求助：下面这一步先卡住了(后面有想法也出不来)，大家可有好方法？

解方程：\(\D\frac{\sin(A)\cdot\sin(B)}{2\sin(A+B)}=\frac{(A-45°)\cdot\pi}{360°}\)  且满足最小值：\(\D\frac{4\sin(A)+2\sin(B)}{\sin(A+B)}\)