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楼主: gxqcn

[原创] 均分田地,田埂最短问题

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发表于 2010-11-12 11:33:29 | 显示全部楼层
最佳的划分应该满足以下$3$个条件:

$1$. 曲线中间没有尖角。

如果曲线中间有尖角$O$,我们可以在$O$点附近找两个点$A$、$B$连起来。如下图所示:

best_devide_1.PNG

造成的面积差异可通过旋转三角形$AOB$外的曲线弥补。

于是调整后仍然满足平分面积的条件,但是总长度缩短了。

$2$. 与正方形边界相接的地方垂直边界。

如果不垂直边界,我们可以在边界附近找一个点$A$,作$A$与边界的垂线。如下图所示:

best_devide_2.PNG

造成的面积差异可通过旋转三角形$APP'$外的曲线弥补。

于是调整后仍然满足平分面积的条件,但是总长度缩短了。

$3$. 内部曲线的交角为$120$度。

$19#$已经解释了。

#####

还有一个必要条件:

$4$. 在一段曲线上任取两点$A$、$B$,则$AB$之间的曲线位于线段$AB$的同一侧。

如果$AB$之间的曲线位于线段$AB$的两侧,设交点为$O$,$AO$段曲线围成的面积较小,如下图所示:

best_devide_3.PNG

则连接$AO$,造成的面积差异可使$BO$段曲线更贴近线段$AB$。

于是调整后仍然满足平分面积的条件,但是总长度缩短了。
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发表于 2010-11-12 11:37:54 | 显示全部楼层
按照9层根据力学的观点,我们可以把“田埂”看成在盒子里的“肥皂泡”。
“肥皂泡”总是趋向于能量最低的形态,及希望收缩到最短。

这些边界把田地分为不同的小块,每个小块对应于一个压强,当系统稳定,即总长度在局部呈现极值时,应满足:
1、相邻两块的压强差P=dT/dl=T/R,其中T是边界的“应力”,R是边界的曲率半径;(这个解释了为什么都是圆弧。)
2、在接点处受力平衡,由于所有的“肥皂泡”应力T都是恒定的,故在3分的连接点将均分360度,在边界点将垂直于盒子边(盒子边的应力是无穷大);
3、调整各块的P,相当于调整各块的面积S,也可以直接用S来算。

PS:9层中说的第2:在接点处相切是不对的,呵呵。
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发表于 2010-11-12 11:57:12 | 显示全部楼层
结晶学理论。我的专业基础课,所以比较熟。

把这个正方形想像成一个深1mm、边长1cm的浅玻璃皿,向其中倒入5种等比重、等体积的理想液体,这5种液体彼此完全不相溶,两两之间的界面张力也都相等。它们与玻璃的界面能彼此相等,与空气的界面能也彼此相等。那么这五种液体就会在玻璃皿中形成11#那样的分布,如果11#的结果就是最小解的话。原因在于,当这五种液体自发地达到稳定平衡状态时,系统应该处于最低自由能状态,这里自由能就是界面能——正比于界面面积。下面来详细说分析。

1、液体不会在深度上分层,因为这样会在水平方向产生界面,而水平方向的界面比深度方向大多了。
2、由于流体静压平衡,于是五种液体液面平齐,深度相等,于是液面面积保持相等。
3、液体与玻璃和空气的界面能是定值,欲使界面能最低,也就是使五种液体彼此间的界面面积最小,即它们在液面上的界线总长最短。
4、这时,Y形交叉点处界面张力处于平衡,由于3个张力大小相等,所以切线夹角为120°
5、与玻璃皿壁相交的界线,由于张力平衡,必定与玻璃皿壁垂直。
6、界线只能是直线和圆弧,这是因为界线上各处的张力(切向)相等,而液压(法向)也处处相等,所以曲率必定也处处相等
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 楼主| 发表于 2010-11-12 14:59:19 | 显示全部楼层
突然想到,这个问题与蜂窝状用料最省可能相关,
当 $n$ 足够大时,内部肯定出现“蜂窝”状,
因为等角六边形的几个内角全部是$120^@$,正好符合大家找到的规则。
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 楼主| 发表于 2010-11-12 15:03:57 | 显示全部楼层
对于这个问题,我感觉应把两类地块均分问题研究透点:正方形与圆形
因为这两种形状现实意义比较大;
最好是逐步加大 $n$,直到出现“等角六边形”,乃至局部出现“蜂窝状”为止。
大家再一起努力啊。。。
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发表于 2010-11-12 16:49:37 | 显示全部楼层
等我有空了在实验室做一下肥皂膜试验,将照片传上来。

试验材料:
  • 一个边长100mm,深5mm的正方形玻璃皿,带盖,盖上有嘴(也许需要带气门芯,那就有点麻烦了),可吹入肥皂泡
  • 一个直径100mm, 深5mm的圆盘形玻璃皿,带盖,盖上有个带气门芯的口,可吹入肥皂泡
  • 精密进样注射器,用于吹入定量容积的肥皂泡         
  • 特别配制的红色肥皂水(偶有配方)


大一点的肥皂泡是夹在玻璃皿的底面和盖之间的柱面,多个泡泡正可模拟这个问题的解。

点评

大开眼界啊!  发表于 2013-12-16 13:25
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发表于 2010-11-12 16:52:59 | 显示全部楼层
理论依据是:
....
造成的面积差异可通过旋转三角形外的曲线弥补。

于是调整后仍然满足平分面积的条件,但是总长度缩短了

感觉这部分理由不够充分
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 楼主| 发表于 2010-11-12 16:56:14 | 显示全部楼层
26# hujunhua


肥皂泡实验可能对“费马点”的选取有参考意义。
本问题难就难在需每个肥皂泡“等积”,
另外不知两肥皂泡分界线是否会弯成圆弧?
因为通常观察到的好像都是直的。

不过还是非常期待 hujunhua 伟大的实验。。。
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发表于 2010-11-12 17:00:30 | 显示全部楼层
我觉得应该可以直接讨论更加一般的结论
如果不限定是不同部分面积不同,比如将单位正方形划分成三个部分,其中面积分别是事先给定的$S_1,S_2,S_3$,其中$S_1+S_2+S_3=1$,而要求边界总长度最短,那么也应该有相同的性质:
i)内部分界线每一段必然是圆弧或直线段(可以看成圆弧的退化情况)
ii)在内部,最多三个不同的分界线共点,这时必然两两夹角相等
iii)分界线和边界接触的地方必然同边界垂直

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 楼主| 发表于 2010-11-12 17:07:47 | 显示全部楼层
比较赞同上面的观点。

但不知如何最短6等分正方形?
因为我想的最简单就是“两横一竖”,违背了 ii)
mathe 可想想有什么好方案?
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