均分田地，田埂最短问题

KeyTo9_Fans

最佳的划分应该满足以下$3$个条件：

$1$. 曲线中间没有尖角。

如果曲线中间有尖角$O$，我们可以在$O$点附近找两个点$A$、$B$连起来。如下图所示：



造成的面积差异可通过旋转三角形$AOB$外的曲线弥补。

于是调整后仍然满足平分面积的条件，但是总长度缩短了。

$2$. 与正方形边界相接的地方垂直边界。

如果不垂直边界，我们可以在边界附近找一个点$A$，作$A$与边界的垂线。如下图所示：



造成的面积差异可通过旋转三角形$APP'$外的曲线弥补。

于是调整后仍然满足平分面积的条件，但是总长度缩短了。

$3$. 内部曲线的交角为$120$度。

$19#$已经解释了。

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还有一个必要条件：

$4$. 在一段曲线上任取两点$A$、$B$，则$AB$之间的曲线位于线段$AB$的同一侧。

如果$AB$之间的曲线位于线段$AB$的两侧，设交点为$O$，$AO$段曲线围成的面积较小，如下图所示：



则连接$AO$，造成的面积差异可使$BO$段曲线更贴近线段$AB$。

于是调整后仍然满足平分面积的条件，但是总长度缩短了。

zgg___

按照9层根据力学的观点，我们可以把“田埂”看成在盒子里的“肥皂泡”。
“肥皂泡”总是趋向于能量最低的形态，及希望收缩到最短。

这些边界把田地分为不同的小块，每个小块对应于一个压强，当系统稳定，即总长度在局部呈现极值时，应满足：
1、相邻两块的压强差P=dT/dl=T/R，其中T是边界的“应力”，R是边界的曲率半径；（这个解释了为什么都是圆弧。）
2、在接点处受力平衡，由于所有的“肥皂泡”应力T都是恒定的，故在3分的连接点将均分360度，在边界点将垂直于盒子边（盒子边的应力是无穷大）；
3、调整各块的P，相当于调整各块的面积S，也可以直接用S来算。

PS：9层中说的第2：在接点处相切是不对的，呵呵。

hujunhua

结晶学理论。我的专业基础课，所以比较熟。

把这个正方形想像成一个深1mm、边长1cm的浅玻璃皿，向其中倒入5种等比重、等体积的理想液体，这5种液体彼此完全不相溶，两两之间的界面张力也都相等。它们与玻璃的界面能彼此相等，与空气的界面能也彼此相等。那么这五种液体就会在玻璃皿中形成11#那样的分布，如果11#的结果就是最小解的话。原因在于，当这五种液体自发地达到稳定平衡状态时，系统应该处于最低自由能状态，这里自由能就是界面能——正比于界面面积。下面来详细说分析。

1、液体不会在深度上分层，因为这样会在水平方向产生界面，而水平方向的界面比深度方向大多了。
2、由于流体静压平衡，于是五种液体液面平齐，深度相等，于是液面面积保持相等。
3、液体与玻璃和空气的界面能是定值，欲使界面能最低，也就是使五种液体彼此间的界面面积最小，即它们在液面上的界线总长最短。
4、这时，Y形交叉点处界面张力处于平衡，由于3个张力大小相等，所以切线夹角为120°
5、与玻璃皿壁相交的界线，由于张力平衡，必定与玻璃皿壁垂直。
6、界线只能是直线和圆弧，这是因为界线上各处的张力（切向）相等，而液压（法向）也处处相等，所以曲率必定也处处相等

gxqcn

突然想到，这个问题与蜂窝状用料最省可能相关，
当 $n$ 足够大时，内部肯定出现“蜂窝”状，
因为等角六边形的几个内角全部是$120^@$，正好符合大家找到的规则。

gxqcn

对于这个问题，我感觉应把两类地块均分问题研究透点：正方形□与圆形○，
因为这两种形状现实意义比较大；
最好是逐步加大 $n$，直到出现“等角六边形”，乃至局部出现“蜂窝状”为止。
大家再一起努力啊。。。

hujunhua

等我有空了在实验室做一下肥皂膜试验，将照片传上来。

试验材料：

• 一个边长100mm，深5mm的正方形玻璃皿，带盖，盖上有嘴（也许需要带气门芯，那就有点麻烦了），可吹入肥皂泡
• 一个直径100mm, 深5mm的圆盘形玻璃皿，带盖，盖上有个带气门芯的口，可吹入肥皂泡
• 精密进样注射器，用于吹入定量容积的肥皂泡         
• 特别配制的红色肥皂水（偶有配方）

大一点的肥皂泡是夹在玻璃皿的底面和盖之间的柱面，多个泡泡正可模拟这个问题的解。

mathe

理论依据是：
....
造成的面积差异可通过旋转三角形外的曲线弥补。

于是调整后仍然满足平分面积的条件，但是总长度缩短了

感觉这部分理由不够充分

gxqcn

26# hujunhua


肥皂泡实验可能对“费马点”的选取有参考意义。
本问题难就难在需每个肥皂泡“等积”，
另外不知两肥皂泡分界线是否会弯成圆弧？
因为通常观察到的好像都是直的。

不过还是非常期待 hujunhua 伟大的实验。。。

mathe

我觉得应该可以直接讨论更加一般的结论
如果不限定是不同部分面积不同，比如将单位正方形划分成三个部分，其中面积分别是事先给定的$S_1,S_2,S_3$,其中$S_1+S_2+S_3=1$,而要求边界总长度最短，那么也应该有相同的性质：
i)内部分界线每一段必然是圆弧或直线段（可以看成圆弧的退化情况）
ii)在内部，最多三个不同的分界线共点，这时必然两两夹角相等
iii)分界线和边界接触的地方必然同边界垂直

gxqcn

比较赞同上面的观点。

但不知如何最短6等分正方形？
因为我想的最简单就是“两横一竖”，违背了 ii)
mathe 可想想有什么好方案？