火车站的最佳位置

KeyTo9_Fans

有一个正方形的城市，地面完全平坦。

有无数个居民均匀分布在正方形的内部。

本来该城市是完全与外界隔绝的。

现在该城市准备通火车与外界联系了。

现在请你在正方形内部设立$3$个火车站。

火车站可以看成一个点。

要求居民到最近的火车站的平均距离最短。

问这$3$个火车站应设立在何处？

问题扩展：

如果是$N$个火车站，这$N$个火车站的排列是否有规律？

风云剑

又是正方形城市！

KeyTo9_Fans

考虑到个人喜好不同，

有的人喜欢正方形，有的人喜欢圆形，有的人喜欢正三角形，有的人喜欢正六边形，

这里就不限制城市的形状了。

大家可以根据自己的喜好选择一种形状来研究。

Fans主要负责研究正方形。

如果有人将其他图形的结果也做出来了，Fans将不胜感激。

zgg___

先问一个具体点的问题，如果城市是一个边长为1的正方形，只有一个火车站并且位于正方形的一角上，那么能算出城市各点到火车站的平均距离么？它的精确值是多少呢？

PS：解题之前，先猜猜看结果都会带着什么符号哟。

风云剑

结果里有Pi。

KeyTo9_Fans

假设楼主的问题的答案是$D(N)$，那么$4$楼问题的答案的精确值是$2$倍的$D(1)$。

因为当$N=1$时，楼主问题的答案是正方形中心。

我们不妨把该正方形横切一刀，竖切一刀，平均分成$4$块。

于是每一块的情况与$4$楼问题相同，只是该正方形的边长为$0.5$。

所以$4$楼问题的答案的精确值是$2D(1)$。

剩下的问题没有改变：

依然是给定$N$，求楼主的问题的答案是多少。

#####

$4$楼的问题等价于求：

$\int_0^1\int_0^1 sqrt(x^2+y^2)dxdy$

结果是

$1/3*(sqrt(2)+ln(1+sqrt(2)))$

约等于

$0.7651957164642126913447660163965$

#####

对于楼主的问题，$D(1)=1/6*(sqrt(2)+ln(1+sqrt(2)))=0.382597858232$

zgg___

5# 风云剑

呵呵，算一下试试呢……

zgg___

我一开始也以为带Pi的，但是答案却相当于带E，所以发了个帖子，呵呵。

风云剑

呵呵，那是瞎猜的。刚才那电脑模拟了一下，0.765172
不过两个车站就不知道如何布局了。

KeyTo9_Fans

我也模拟了一下。

代码如下：

1. #include<cstdio>
   
2. #include<cmath>
   
3. 
   
4. double x,y,s;
   
5. 
   
6. int main()
   
7. {
   
8.         s=0;
   
9.         for(x=5e-5;x<1;x+=1e-4)
   
10.                 for(y=5e-5;y<1;y+=1e-4)
    
11.                         s+=sqrt(x*x+y*y);
    
12.         printf("%.12lf\n",s/1e8);
    
13.         return 0;
    
14. }

复制代码

输出如下：

0.765195715729

与真实值相差$7e-10$