突发奇想的难题

jx215

A,B两个人在圆形跑道上赛跑，已知圆形跑道半径为R，A速度是B速度7倍（也可设定其他倍数），两人开始都是从同一起点沿跑道顺时针匀速跑。现在规定A每次与B相遇后立刻掉转头向相反方向跑，请问： 一，A,B有没有可能再次在起点相遇？请证明之。如可能，再次在起点相遇后，A,B各跑了多少距离？？ 二，假如B跑完第699圈、第5248圈时，A与B相距多少距离？

仙剑魔

手算的话如果没有掌握规律确实麻烦 用计算机的话敲个代码就出来的...

northwolves

假如B跑完第699圈、第5248圈时，A与B相距多少距离 ------------------- 至少跑完圆形跑道的多少比例才算跑完一圈？

jx215

至少跑完圆形跑道的多少比例才算跑完一圈？ ———————————————————— 跑完一圈是从起点回到起点，正好跑完一个圆周长的距离。 如果能找出规律性就好办了。否则B跑的圈数越多，计算就越复杂。

jx215

假如B跑完第699圈、第5248圈时，A与B相距多少距离 ———————————————————————— 其实也可以表述为B跑完第699圈、第5248圈时，A离起点距离。（因为B在起点上）

litaoye

设周长为L 第一次相遇应该是在L/6的位置吧？第二次相遇是在L/6 + L/8 = L*7/24的位置吧？ 之后再跑L/6会相遇，L/8会再次相遇...... 如果是这样的话B跑到第6圈时二人会在起点相遇，第7圈时再次在起点相遇。 不知道理解对了没有！

xiekunqing

记A与B的速度分别为VA，VB，A的速度为B的K倍，则有VA=K*VB；跑道的周长S=2*pi*R。 A与B第一次相遇的时间t0=S/{（k-1）*VB}；此后 当A与B同向相遇时，两人下一次相遇的所花费的时间t1=S/{（k+1）*VB}； 当A与B相向相遇时，两人下一次相遇的所花费的时间t2=S/{（k-1）*VB}； 有上面易知， A与B第2次相遇的时间为：t0+t1=t2+t1; A与B第3次相遇的时间为：t1+2*t2; A与B第4次相遇的时间为：2*t1+2*t2; ………… A与B第N(N为偶数)次相遇的时间为：N/2*(t1+t2); A与B第N(N为奇数)次相遇的时间为：（N-1）/2*(t1+t2)+t2; ………… 在此过程中B的方向始终是不变的，B跑玩一圈所花的时间为TB=S/VB; 于是A与B能否在起点相遇就转化为能否找出正整数M，使得 N/2*(t1+t2)=M*TB 或（N-1）/2*(t1+t2)+t2=M*TB 化简得 N/2*(1/(k-1)+1/(k+1))=M 或（N-1）/2*(1/(k-1)+1/(k+1))+1/(k-1)=M 本题的K=7，代入得 N/2*(1/6+1/8)=M （*） 或（N-1）/2*(1/6+1/8)+1/6=M （**） 对于（*）求解的 N=48，96，144，192…… M= 7，14， 21， 28…… 对于（**）求解的 N=41，89，137，185…… M= 6，13， 20， 27…… 综上的A与B在起点相遇的时间为他们第41，48，89，96，……相遇，此时B跑的圈数为6，7，13，14，…… 相遇时B所跑的距离为6*S， 7*S， 13*S， 14*S， ……； 相遇时B所跑的距离为6*7*S，7*7*S，13*7*S，14*7*S，……； 由上面易知当B跑了699圈时，A与B的距离为0（相遇）； 因为A与B相遇情况当B跑的圈数为7的倍数时是一样的，于是当B跑了5248圈可以转换为B跑了5圈时A离起点距离 （5248%7=5），由上面的推导得当他们第34次相遇时，B跑了4又23/24圈，相遇后A反向（与B相同），当B跑完 剩下的1/24圈达到第五圈时，此时A离起点的距离为(1/24*7-1/24)*S=S/4，即B跑完第5248圈时，A与B相距S/4

xiekunqing

第一个问题可以抽象为：是否存在正整数N，使得数列1/（k-1）,1/（k+1）,……，1/（k-1）,1/（k+1）……的前N项和为整数，若N存在则表示A与B能在起点相遇，否则则不能在起点相遇

jx215

7楼解题思路真的很巧妙，也很经典。谢谢指教。

数学星空

7楼分析比较清晰....