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[原创] 突发奇想的难题

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发表于 2008-12-28 18:11:27 | 显示全部楼层 |阅读模式

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A,B两个人在圆形跑道上赛跑,已知圆形跑道半径为R,A速度是B速度7倍(也可设定其他倍数),两人开始都是从同一起点沿跑道顺时针匀速跑。现在规定A每次与B相遇后立刻掉转头向相反方向跑,请问:
一,A,B有没有可能再次在起点相遇?请证明之。如可能,再次在起点相遇后,A,B各跑了多少距离??
二,假如B跑完第699圈、第5248圈时,A与B相距多少距离?
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发表于 2008-12-28 18:48:50 | 显示全部楼层
手算的话如果没有掌握规律确实麻烦
用计算机的话敲个代码就出来的...
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发表于 2008-12-28 18:52:18 | 显示全部楼层
假如B跑完第699圈、第5248圈时,A与B相距多少距离
-------------------
至少跑完圆形跑道的多少比例才算跑完一圈?
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 楼主| 发表于 2008-12-28 19:28:26 | 显示全部楼层

回复 3# northwolves 的帖子

至少跑完圆形跑道的多少比例才算跑完一圈?
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跑完一圈是从起点回到起点,正好跑完一个圆周长的距离。

如果能找出规律性就好办了。否则B跑的圈数越多,计算就越复杂。
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 楼主| 发表于 2008-12-28 19:34:14 | 显示全部楼层
假如B跑完第699圈、第5248圈时,A与B相距多少距离

————————————————————————
其实也可以表述为B跑完第699圈、第5248圈时,A离起点距离。(因为B在起点上)
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发表于 2008-12-29 00:12:11 | 显示全部楼层
设周长为L

第一次相遇应该是在L/6的位置吧?第二次相遇是在L/6 + L/8 = L*7/24的位置吧?

之后再跑L/6会相遇,L/8会再次相遇......

如果是这样的话B跑到第6圈时二人会在起点相遇,第7圈时再次在起点相遇。

不知道理解对了没有!
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发表于 2008-12-29 00:46:50 | 显示全部楼层
记A与B的速度分别为VA,VB,A的速度为B的K倍,则有VA=K*VB;跑道的周长S=2*pi*R。
A与B第一次相遇的时间t0=S/{(k-1)*VB};此后
当A与B同向相遇时,两人下一次相遇的所花费的时间t1=S/{(k+1)*VB};
当A与B相向相遇时,两人下一次相遇的所花费的时间t2=S/{(k-1)*VB};
有上面易知,
A与B第2次相遇的时间为:t0+t1=t2+t1;
A与B第3次相遇的时间为:t1+2*t2;
A与B第4次相遇的时间为:2*t1+2*t2;
…………
A与B第N(N为偶数)次相遇的时间为:N/2*(t1+t2);
A与B第N(N为奇数)次相遇的时间为:(N-1)/2*(t1+t2)+t2;
…………
在此过程中B的方向始终是不变的,B跑玩一圈所花的时间为TB=S/VB;
于是A与B能否在起点相遇就转化为能否找出正整数M,使得
    N/2*(t1+t2)=M*TB 或(N-1)/2*(t1+t2)+t2=M*TB
化简得
    N/2*(1/(k-1)+1/(k+1))=M 或(N-1)/2*(1/(k-1)+1/(k+1))+1/(k-1)=M
本题的K=7,代入得
    N/2*(1/6+1/8)=M   (*) 或(N-1)/2*(1/6+1/8)+1/6=M    (**)
对于(*)求解的
    N=48,96,144,192……
    M= 7,14, 21, 28……
对于(**)求解的
    N=41,89,137,185……
    M= 6,13, 20, 27……
综上的A与B在起点相遇的时间为他们第41,48,89,96,……相遇,此时B跑的圈数为6,7,13,14,……
相遇时B所跑的距离为6*S,   7*S,  13*S,  14*S, ……;
相遇时B所跑的距离为6*7*S,7*7*S,13*7*S,14*7*S,……;


由上面易知当B跑了699圈时,A与B的距离为0(相遇);
因为A与B相遇情况当B跑的圈数为7的倍数时是一样的,于是当B跑了5248圈可以转换为B跑了5圈时A离起点距离

(5248%7=5),由上面的推导得当他们第34次相遇时,B跑了4又23/24圈,相遇后A反向(与B相同),当B跑完

剩下的1/24圈达到第五圈时,此时A离起点的距离为(1/24*7-1/24)*S=S/4,即B跑完第5248圈时,A与B相距S/4
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发表于 2008-12-29 13:10:49 | 显示全部楼层
第一个问题可以抽象为:是否存在正整数N,使得数列1/(k-1),1/(k+1),……,1/(k-1),1/(k+1)……的前N项和为整数,若N存在则表示A与B能在起点相遇,否则则不能在起点相遇
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 楼主| 发表于 2008-12-29 20:08:47 | 显示全部楼层
7楼解题思路真的很巧妙,也很经典。谢谢指教。
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发表于 2009-6-15 14:01:03 | 显示全部楼层
7楼分析比较清晰....
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