仿指数函数

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定义
\[f(x,\lambda)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{(\lambda+1)(\lambda+2)\dots (\lambda+n+1)}\]

显然，这是仿照指数函数$e^x$的定义构造的，$f(x,0)=\frac{e^x-1}{x}$。

对于这种函数，我有几个困惑的地方：

1、有没有已有的关于它的研究？有没有对它比较好的估计？

2、这个函数关于$\lambda$的部分都在分母，从定义上来看，该函数在$\lambda = -1,-2,-3,...$都是没有定义的。但该函数从主方程中导出来的，可以将$\lambda$视为两种浓度之比（先不管正负号），既然是两种浓度之比，应该是任意值都可以的呀，怎么整数时就有问题？如何解释它呢？是否需要用到解析延拓之类的东西（只听过，不懂～）？

kastin

1. Sum[\[Lambda] x^n/Pochhammer[\[Lambda], n + 2], {n, 0, Infinity},
   
2. Assumptions -> \[Lambda] \[Element] Reals]

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结果是\[f(x,\lambda)=\frac{e^x}{x^{\lambda +1}}  \left(\Gamma (\lambda +1)-\Gamma (\lambda +1,x)\right)\]括号后最后一项是不完全Gamma函数。

浓度之比本身应该是正数，不可能为负。另外，如果是原方程导出，还要考虑是否严格等价，因为形式上代数或微分变换有可能会增加或减少定义域，或许是这个原因所致。