根号d的构造问题

wsc810

已知 ${sqrt(d)+P}/Q = [a_1,a_2,...,a_n]$,其中 ，$P^2+Q Q'=d$ 若现在已知有$p_n/p_{n-1}=[a1,a2,...,a_n]$,问能否构造出$d$,即求出$P,Q,Q'$使得求出的 ${sqrt(d)+P}/Q$的连分式展开式的前$n$项为$[a_1,a_2,...,a_n]$,若给出更一般的两个数,使他分别等于$p_n,p_{n-1}$, 以上问题怎么解决? 下面先给出求连分式${sqrt(d)+P}/Q$的有关公式. $P_a=[sqrt(d)]$ $a_1=[{P_a+P}/Q]$ $P_1=a_1Q-P$,$Q_1={d-P_1^2}/Q$, $P_n=a_{n-1}Q_{n-1}-P_{n-1}$ $Q_n=(d-P_n^2)/Q_{n-1}=Q_{n-2} +a_{n-1}(P_{n-1}-P_n)$ 然后,再利用${sqrt(d)+P}/Q=[a_1,a_2,...a_n,alpha_n]$ $alpha_n={sqrt(d)+P_{n+1}}/Q_{n+1}$ ${sqrt(d)+P}/Q={alpha_np_n+p_{n-1}}/{alpha_nq_n+q_{n-1}}$ 将上式整理得: $q_nP_{n+1}+q_{n-1}Q_{n+1}=Qp_n-Pq_n$ $p_nP_{n+1}+p_{n-1}Q_{n+1}=Q'q_n+Pp_n$ 从上式中解出$Q_{n+1},P_{n+1}$得 $(-1)^nQ_{n+1}=Qp_n^2-Q'q_n^2-2Pp_nq_n$ $(-1)^nP_{n+1}=Q'q_nq_{n-1}-Qp_np_{n-1}+P( p_nq_{n-1}+p_{n-1}q_n)$ 还有如下两个公式 $q_n^2d-(q_nP_{n+1}+q_{n-1}Q_{n+1})^2=(-1)^{n+1}Q_{n+1}Q$ $p_n^2d-(p_nP_{n+1}+p_{n-1}Q_{n+1})^2=(-1)^nQ_{n+1}Q'$ 特殊情形,当$P=0,Q=1$时,有 $p_n=q_nP_{n+1}+q_{n-1}Q_{n+1}$ $dq_n=p_nP_{n+1}+p_{n-1}Q_{n+1}$ 消去$P_{n+1}$佩尔方程的解 $p_n^2-dq_n^2=(-1)^nQ_{n+1}$ 希望以上公式能有助于解决该问题.

wsc810

问题已得到解决，就是先任意确定一个数令它为$Q_{n+1}$ 利用公式 $(-1)^nQ_{n+1}=Qp_n^2-Q'q_n^2-2Pp_nq_n$ 求该不定方程 解出$Q, Q' , P$

mathabc

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wsc810

公式修改

$Qp_np_{n-1} - Q'q_nq_{n-1} - P(p_nq_{n-1}+p_{n-1}q_n)=(-1)^nP_{n+1}$

$Q_nq_n^2 - 2P_{n+1}q_nq_{n-1} - Q_{n+1}q_{n-1}^2=(-1)^n$

$Q_np_n^2 - 2P_{n+1}p_np_{n-1} - Q_{n+1}p_{n-1}^2=(-1)^{n+1}d$

$p_nq_{n-1} - p_{n-1}q_n=(-1)^{n+1}$