根号d的构造问题

wsc810

已知 ${sqrt(d)+P}/Q = [a_1,a_2,...,a_n]$,其中 ，$P^2+Q Q'=d$
若现在已知有$p_n/p_{n-1}=[a1,a2,...,a_n]$,问能否构造出$d$,即求出$P,Q,Q'$使得求出的
${sqrt(d)+P}/Q$的连分式展开式的前$n$项为$[a_1,a_2,...,a_n]$,若给出更一般的两个数,使他分别等于$p_n,p_{n-1}$, 以上问题怎么解决?
下面先给出求连分式${sqrt(d)+P}/Q$的有关公式.
$P_a=[sqrt(d)]$    $a_1=[{P_a+P}/Q]$   $P_1=a_1Q-P$,$Q_1={d-P_1^2}/Q$,
  $P_n=a_{n-1}Q_{n-1}-P_{n-1}$     
  $Q_n=(d-P_n^2)/Q_{n-1}=Q_{n-2} +a_{n-1}(P_{n-1}-P_n)$
然后,再利用${sqrt(d)+P}/Q=[a_1,a_2,...a_n,alpha_n]$
   $alpha_n={sqrt(d)+P_{n+1}}/Q_{n+1}$
   ${sqrt(d)+P}/Q={alpha_np_n+p_{n-1}}/{alpha_nq_n+q_{n-1}}$
将上式整理得:
    $q_nP_{n+1}+q_{n-1}Q_{n+1}=Qp_n-Pq_n$
    $p_nP_{n+1}+p_{n-1}Q_{n+1}=Q'q_n+Pp_n$
从上式中解出$Q_{n+1},P_{n+1}$得
    $(-1)^nQ_{n+1}=Qp_n^2-Q'q_n^2-2Pp_nq_n$
     $(-1)^nP_{n+1}=Q'q_nq_{n-1}-Qp_np_{n-1}+P( p_nq_{n-1}+p_{n-1}q_n)$
还有如下两个公式
  $q_n^2d-(q_nP_{n+1}+q_{n-1}Q_{n+1})^2=(-1)^{n+1}Q_{n+1}Q$
   $p_n^2d-(p_nP_{n+1}+p_{n-1}Q_{n+1})^2=(-1)^nQ_{n+1}Q'$
特殊情形,当$P=0,Q=1$时,有  
   $p_n=q_nP_{n+1}+q_{n-1}Q_{n+1}$  $dq_n=p_nP_{n+1}+p_{n-1}Q_{n+1}$
消去$P_{n+1}$佩尔方程的解
   $p_n^2-dq_n^2=(-1)^nQ_{n+1}$
  希望以上公式能有助于解决该问题.

wsc810

问题已得到解决，就是先任意确定一个数令它为$Q_{n+1}$   利用公式  
     $(-1)^nQ_{n+1}=Qp_n^2-Q'q_n^2-2Pp_nq_n$ 求该不定方程 解出$Q, Q' , P$

mathabc

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wsc810

公式修改

$Qp_np_{n-1} - Q'q_nq_{n-1} - P(p_nq_{n-1}+p_{n-1}q_n)=(-1)^nP_{n+1}$

$Q_nq_n^2 - 2P_{n+1}q_nq_{n-1} - Q_{n+1}q_{n-1}^2=(-1)^n$

$Q_np_n^2 - 2P_{n+1}p_np_{n-1} - Q_{n+1}p_{n-1}^2=(-1)^{n+1}d$

$p_nq_{n-1} - p_{n-1}q_n=(-1)^{n+1}$