无穷大研究中的一个新进展

zeroieme

sheng_jianguo 发表于 2017-12-18 09:39
严谨的说法如下
柯恩在1963年证明：如果公理系统ZFC是协调的，则在ZFC下推不出连续统假设是真的。
之前 ...

我的观点是：既然ZFC系统不能确定命题A。同时，有方法不依靠ZFC系统推出命题A的真假，就等价引入了ZFC系统以外的新公理。

hujunhua

我倾向于@zeroieme的观点，既然连续统假设已被证明是独立于ZFC系统的，那篇论文就没有可能在ZFC中证明p≠t.
他证明了p=t, 这一点都不奇怪。

sheng_jianguo

zeroieme 发表于 2017-12-18 10:44
我的观点是：既然ZFC系统不能确定命题A。同时，有方法不依靠ZFC系统推出命题A的真假，就等价引入了ZFC ...

从广义来说，我同意你的这个观点。
但具体实施是会有问题的：
1. 数理逻辑（或模型论）中一个系统要增加公理是有要求的。一种数学方法不一定能找到等价的一些具体公理。
我的意思不是说找不到简单的公理G，使得ZFC+G推出连续统假设（或连续统假设的否定）。设G是与连续统假设等价的命题（已证明与连续统假设等价的命题有很多），则G满足公理要求，显然ZFC+G能推出连续统假设，但这能说明什么问题呢？能说明连续统假设成立吗？
2. 一些数学方法要对应到ZFC系统中，有时单单增加公理（假定存在）是不够的，还需要增加一些ZFC系统中没有的推理规则。我以为这是问题的关键（已有的宣传总是强调应增加公理，而忽视增加推理规则的重要性），ZFC系统中在判定两个无穷集是否等势时缺少合理的推理。我也曾尝试在ZFC系统中增加一些合理可靠的推理规则，但这样一来，ZFC系统中一些最美好的特性将不存在了，这是数学家们最不愿意看到的结果，也就是说在ZFC系统中增加这些合理可靠的推理规则是得不到主流数学社会认可的。真是进退两难呀！

zeroieme

sheng_jianguo 发表于 2017-12-19 13:17
从广义来说，我同意你的这个观点。
但具体实施是会有问题的：
1. 数理逻辑（或模型论）中一个系统要增 ...

所以 我在7楼说“一条能让多数数学家认可的新公理”是重大进展。或者，今天觉得对ZFC进行修正或许更美好。

Banach-Tarski 让我对选择公理很“憎恨”  .\ /.