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楼主: sheng_jianguo

[分享] 无穷大研究中的一个新进展

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发表于 2017-12-18 10:44:41 | 显示全部楼层
sheng_jianguo 发表于 2017-12-18 09:39
严谨的说法如下
柯恩在1963年证明:如果公理系统ZFC是协调的,则在ZFC下推不出连续统假设是真的。
之前 ...


我的观点是:既然ZFC系统不能确定命题A。同时,有方法不依靠ZFC系统推出命题A的真假,就等价引入了ZFC系统以外的新公理。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-12-18 21:26:33 | 显示全部楼层
我倾向于@zeroieme的观点,既然连续统假设已被证明是独立于ZFC系统的,那篇论文就没有可能在ZFC中证明p≠t.
他证明了p=t, 这一点都不奇怪。
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 楼主| 发表于 2017-12-19 13:17:59 | 显示全部楼层
zeroieme 发表于 2017-12-18 10:44
我的观点是:既然ZFC系统不能确定命题A。同时,有方法不依靠ZFC系统推出命题A的真假,就等价引入了ZFC ...

从广义来说,我同意你的这个观点。
但具体实施是会有问题的:
1. 数理逻辑(或模型论)中一个系统要增加公理是有要求的。一种数学方法不一定能找到等价的一些具体公理。
我的意思不是说找不到简单的公理G,使得ZFC+G推出连续统假设(或连续统假设的否定)。设G是与连续统假设等价的命题(已证明与连续统假设等价的命题有很多),则G满足公理要求,显然ZFC+G能推出连续统假设,但这能说明什么问题呢?能说明连续统假设成立吗?
2. 一些数学方法要对应到ZFC系统中,有时单单增加公理(假定存在)是不够的,还需要增加一些ZFC系统中没有的推理规则。我以为这是问题的关键(已有的宣传总是强调应增加公理,而忽视增加推理规则的重要性),ZFC系统中在判定两个无穷集是否等势时缺少合理的推理。我也曾尝试在ZFC系统中增加一些合理可靠的推理规则,但这样一来,ZFC系统中一些最美好的特性将不存在了,这是数学家们最不愿意看到的结果,也就是说在ZFC系统中增加这些合理可靠的推理规则是得不到主流数学社会认可的。真是进退两难呀!
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发表于 2017-12-19 15:29:25 | 显示全部楼层
sheng_jianguo 发表于 2017-12-19 13:17
从广义来说,我同意你的这个观点。
但具体实施是会有问题的:
1. 数理逻辑(或模型论)中一个系统要增 ...

所以 我在7楼说“一条能让多数数学家认可的新公理”是重大进展。或者,今天觉得对ZFC进行修正或许更美好。

Banach-Tarski 让我对选择公理很“憎恨”  .\ /.
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