[逆问题之一] 三角代数数根的判定

wayne

mathe 发表于 2018-2-1 13:54
https://arxiv.org/abs/1209.5137
The inverse function of a polynomial with complex
coefficients can ...

@mathe, 我看了下论文．Polynomials invertible in k-radicals．好像讨论的是可逆的k阶根式解的多项式的类型［多项式的反函数能被根式表达］．［是power polynomials, Chebyshev polynomials and polynomials of degree at most 4的组合］
而我这个问题好像还不是讨论根式解，我的问题涉及的三角函数解其实都跟根式解没有关系．可以举很多例子．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
我所理解的根式解是基本操作构成的．我前面的代数整数的链接本意并不是要说代数整数，我觉得我们关注的是对根式解和基本操作的定义：
http://mathworld.wolfram.com/RadicalInteger.html
基本操作就是作用在整数域的加法，乘法，除法，开方运算．

A radical integer is a number obtained by closing the integers under addition, multiplication, subtraction, and root extraction.

在http://mathworld.wolfram.com/ElementaryFunction.html，还有http://mathworld.wolfram.com/ElementaryOperation.html　里也提到了基本操作．

(addition, multiplication, division, and root extractions--the elementary operations)-

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

mathe

是Chebyshev多项式和三角函数值有密切关联。

mathe

根据这个论文内容，显然你这些方程必须有根式解(复数范围)

kastin

wayne 发表于 2018-2-1 14:37
http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicInteger.html

这里有说，开n次方是对有理数操作的．

上面说，如果不允许出现复数（不引入虚数单位），一般三次方程根不能用实根式表示（其实这暗示了复数和三角函数有联系，因为三次方程的根可以用三角函数表示，可见这是一类特殊的无理数或代数数）。由此可知，五次方程必然暗示了一类更加特殊的数（犹如复数之于实数）的存在，因此一般的五次方程无法仅用有限次复数根式表示。

每一种新的代数运算就引入了一种新的代数数。从方程的次数来看，次数的升高也表达了更特殊一类的代数数。

wayne

mathe 发表于 2018-2-2 20:52
根据这个论文内容，显然你这些方程必须有根式解(复数范围)

sorry.还是不能明白,mathe是不是没有耐心了， 。 Chebyshev多项式跟三角函数值有密切关联这个我当然是知道的，论坛里有很多老帖子我都引用了这个多项式的，如果你感兴趣我可以翻出来。但据我理解，Chebyshev多项式不一定能用根式表达【我理解的根式表达就是前面提及的基本操作】。
====================
我就拿这个方程为例：$f(x)=x^5-x^4-4 x^3+3 x^2+3 x-1=0$，我的理解就是该方程没有根式解。但是该方程存在三角函数解，当然也是Chebyshev多项式的变种。$f(4sin(\pi/11)^2-2) =0$，即套在我的问题里，答案就是$g(x)=4x^2-2$,如果这个都能说是根式解，那么等同于说$\sin (\frac{\pi }{11})$是有根式表达的。
再比如：$f(x)=x^5-55 x^4+330 x^3-462 x^2+165 x-11=0$,  $f(tan(\pi/11)^2) =0$，即套在我的问题里，答案就是$g(x)=x^2$

我提出这个问题，初衷是想挖掘出 一般多项式跟三角函数解的算法过程。
除非可以说所有的有理数倍的$]pi$的三角函数值所对应的代数数都算mathe提供的论文里说的k-radicals。

zeroieme

mathe的意思就是\(\sin \left(\frac{\pi }{11}\right)=\frac{1}{2} \left((-1)^{9/22}-(-1)^{13/22}\right)\)

wayne

zeroieme 发表于 2018-2-2 22:55
mathe的意思就是\(\sin \left(\frac{\pi }{11}\right)=\frac{1}{2} \left((-1)^{9/22}-(-1)^{13/22}\right) ...

,那一点都不好玩呀！ 根据棣莫佛公式，那所有的有理倍数的三角函数值都是根式了，不用费劲去根式展开了。
那Wikipedia上的条目Trigonometric_constants_expressed_in_real_radicals，也没啥劲了呀： https://www.wikiwand.com/en/Trig ... ed_in_real_radicals


里面也说了，不是所有的分数三角函数值都可以化简成真正的根式

expressions in real radicals exist for a trigonometric function of a rational multiple of π if and only if the denominator of the fully reduced rational multiple is a power of 2 by itself or the product of a power of 2 with the product of distinct Fermat primes, of which the known ones are 3, 5, 17, 257, and 65537.

mathe

real radicals不是说是真正的根式，而是实根式而不是复根式

kastin

wayne 发表于 2018-2-3 10:06
本问题的本质就是判断整系数不可约多项式$f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i$的根$\epsilon$，是否能用$m$次整系数 ...

如果 `f(x)` 是首一整系数多项式就好了，不然的话，这个问题很复杂。
比如，若 `a_n=1`，可知有唯一展开 `f(x)=\prod_{i=0}^n(x-x_i)`，因为根能表达为 `g(x)` 形式，而其加减乘除仍是整系数多项式，故根据韦达定理可知这些系数 `a_i` 也能表为 三角函数代数数的整系数多项式。

于是问题转化为：是否所有的三角代数数的整系数多项式的结果都是有理整数？若不是，那么系数 `a_i` 满足什么条件才可能表为三角函数代数数的整系数多项式。

根据前面的结论可知，复数根式和三角函数代数数是等价的。然而，一般的多项式方程不存在根式解（即使用复根式，也无法表示），这就意味上面的问题的答案是否定的——只有满足特殊的系数关系的首一整系数多项式 `f(x)` 才可表为三角函数代数数的整系数多项式。不过这个关系比较难给出。

现在若将 `a_n` 不限定为1，那么就意味着问题被一般化：是否所有的三角代数数的整系数多项式的结果都是有理数？若不是，那么系数 `a_i` 满足什么条件才可能表为三角函数代数数的整系数多项式。

这个问题更复杂，个人猜测答案也是否定的。