求作四边形的最小外接圆

hujunhua

一个圆内接四边形的对角线交点到四顶点的距离分别是2、3、6、4，求作最小的该圆。

mathe

这个图形应该只有有限种

hujunhua

咋只有有限种？对角线可绕交点任意转动，保持2*6=3*4，任意夹角都存在外接圆啊。

wayne

嗯，满足相交弦乘积关系就一定存在外接圆的。
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1）设$2+6=8$的对角线的圆周角是$\alpha$,$3+4=7$的对角线的圆周角是$\beta$，那么存在关系$2R = \frac{8}{sin \alpha} = \frac{7}{sin \beta}$，也就是说这个等式恒成立，取交集得到两个等式都能成立的时候，是$\alpha=90°,R>=4$
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以下计算纯属多余，不过，能起到验证的作用。

2）存在条件：根据托勒密定理，对边相乘之和等于对角线相乘。所以，我们可以根据三角形相似性，设$2,3$两边构成的三角形另一边的边长是$x$,设$2,4$两边构成的三角形另一边的边长是$2y$,那么，那么四边形的另外两边就是$2x,3y$.那么存在关系： $x\cdot 2x+2y\cdot 3y=(2+6)(3+4)=56$

3) 取边长为$2x,2y$,夹角为$\alpha$的三角形为对象，根据余弦定理得到：$x^2+y^2+2xy cos \alpha =16$

解得$\alpha = 90°,x=\sqrt{10},y=\sqrt{6},R=4$
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由此可以验证，确定出一般性的答案就是：较长的对角线是外接圆的直径的时候[此题中是2+6=8]，外接圆最小。

hujunhua

下面是它的对偶问题吗？：
已知一个圆外切四边形的四边长为2、3、5、4，求作最大圆。

hujunhua

有一个显然的事实：过定弦的圆簇中，以定弦为直径者最小。
所以原题简直不成问题！
倒是楼上的问题较之更有意思。
@mathe的评语指出最大圆的驻点条件是双心四边形，故其面积为`\sqrt{2\cdot3\cdot4\cdot5}=\sqrt{120}`,
由此易得四边形各顶角的正弦值，进而作出四边形来。