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[讨论] 求作四边形的最小外接圆

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发表于 2018-2-13 00:27:32 | 显示全部楼层 |阅读模式

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一个圆内接四边形的对角线交点到四顶点的距离分别是2、3、6、4,求作最小的该圆。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-2-13 08:03:52 来自手机 | 显示全部楼层
这个图形应该只有有限种
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-2-13 11:10:26 | 显示全部楼层
咋只有有限种?对角线可绕交点任意转动,保持2*6=3*4,任意夹角都存在外接圆啊。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-2-13 11:27:54 | 显示全部楼层
嗯,满足相交弦乘积关系就一定存在外接圆的。
=====
1)设$2+6=8$的对角线的圆周角是$\alpha$,$3+4=7$的对角线的圆周角是$\beta$,那么存在关系$2R = \frac{8}{sin \alpha} = \frac{7}{sin \beta}$,也就是说这个等式恒成立,取交集得到两个等式都能成立的时候,是$\alpha=90°,R>=4$
================
以下计算纯属多余,不过,能起到验证的作用。

2)存在条件:根据托勒密定理,对边相乘之和等于对角线相乘。所以,我们可以根据三角形相似性,设$2,3$两边构成的三角形另一边的边长是$x$,设$2,4$两边构成的三角形另一边的边长是$2y$,那么,那么四边形的另外两边就是$2x,3y$.那么存在关系: $x\cdot 2x+2y\cdot 3y=(2+6)(3+4)=56$

3) 取边长为$2x,2y$,夹角为$\alpha$的三角形为对象,根据余弦定理得到:$x^2+y^2+2xy cos \alpha =16$

解得$\alpha = 90°,x=\sqrt{10},y=\sqrt{6},R=4$
============
由此可以验证,确定出一般性的答案就是:最长的对角线是外接圆的直径的时候[此题中是2+6=8],外接圆最小。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2018-2-13 11:36:13 | 显示全部楼层
下面是它的对偶问题吗?:
已知一个圆外切四边形的四边长为2、3、5、4,求作最大圆。

点评

所以最大圆要求四边形面积最大,也就是有内接圆时,所以这个问题的解是双心四边形。但是上面的问题好像不是双心四边形,所以不能算对偶  发表于 2018-2-13 13:19
应该不是对偶吧,感觉这是两个完全不一样的问题  发表于 2018-2-13 12:32
解出来了,:)  发表于 2018-2-13 12:04
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