a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=4的正整数解

mathe

这类问题最小整数解还是很难确定的

wayne

在线magma的计算,

1. SetClassGroupBounds("GRH");
   
2. n:=156;
   
3. E := EllipticCurve([1,17 + 9*n + n^2,0,(3 + n)*(5 + 2*n)*(7 + 2*n),(3 + n)^2*(5 + 2*n)^2]);
   
4. time rank, gens, sha := MordellWeilShaInformation(E : ShaInfo); // 使用 ShaInfo 参数获取 Sha 群信息
   
5. print "n:", n;
   
6. print "Rank:", rank;
   
7. print "Generators:", gens;
   
8. print "Sha information:", sha;

复制代码

返回 的结果说明 是用到了 4-descent 算法

1. 
   
2. Using model [ 1, 25757, 0, 16078557, 2540462409 ]
   
3. Torsion Subgroup = Z/6
   
4. Analytic rank = 1
   
5.      ==> Rank(E) = 1
   
6. The 2-Selmer group has rank 2
   
7. After 2-descent:
   
8.     1 <= Rank(E) <= 1
   
9.     Sha(E)[2] is trivial
   
10. (Searched up to height 10000 on the 2-coverings.)
    
11. New point of infinite order (x = -1143085574792587809276105720035/3594287312168\
    
12. 570192079230481)
    
13. After 4-descent:
    
14.     1 <= Rank(E) <= 1
    
15.     Sha(E)[4] is trivial
    
16. (Searched up to height 10^2 on the 4-coverings.)
    
17. 
    
18. Time: 25.830
    
19. n: 156
    
20. Rank: [ 1, 1 ]
    
21. Generators: [ (-1143085574792587809276105720035/3594287312168570192079230481 :
    
22. 33550203141030979799777429630140102885144673/2154860621166621358118455129081070\
    
23. 94548871 : 1) ]
    
24. Sha information: [
    
25.     <2, [ 0, 0 ]>,
    
26.     <4, [ 0, 0 ]>
    
27. ]
    
28. 
    

复制代码

整数解给出几组如下:
前三个数代表a.b.c的位数,后三个数才是a.b.c的值

1. {42,43,43,628190692336859398221322907542540611849411,-633022700774169430184479804342266092172541,-660009288976519378415797156848033314815604}
   
2. {43,44,44,1159922227598355442255065853304348643551587,-1170188861606405478100419242093170984961135,-1577133783148999215225003543774692512573807}
   
3. {168,169,168,398717662788278063072034394210418461757935392331603882543448093388903194940038490461818377605135414838988539013550515861716300061767904210940334832437394742355375008179,-529839212942895697712495031334117208606168799417368319450843526239186475649569842050726705079333481183550907084304604275406580916430517181578103943098525173290016853069,532321442563236465779991317198238652228380951479418520844588486903356624982119373381110397693722819524196031217440866557051991527166674875024752244479452957765341974861}
   
4. {169,170,169,1536573291202561877430943122598692122321647077016429474796484926322535095243736934914895989106356096240692867702737946831092226471021061432257416870771851586390050789389,-1596034441532007824185268205067005222022149364775556882168689255969180821311216635257381710501492593381865471467164304634191422622873515409794576687929616409995459418765,1604408566915527648369074741254697609151116115563026008058506402729979182778872497074226119436559249400642061724079426289353722702576244497095485474509272858237269734656}
   
5. {376,377,379,3602154021309115295066725705923026971726917584357931033756815653099490301462094664570995613542428460232600921528875323570583506339749435194857261479957729347782796241934307634599946884857002262146266957294884200255369058907051976098148419135644646477365108403311374404500407914388600166918355191067234887691118322937981762086074460441937691897657127543296757810113187414510444,-5371041800946922021806248648223988578636295490178155103484169344277004656545480380021513995393633647909011519362501571382050630259212777279670970721612487834514235423280391503738854944239231806277895743873997070033235516010381617125707990075465790896090332248343882394125118137001342711083318722861853710694846882661473849610511008457894841267648270179816684755082349331188229,-275934257774289874954047776847101623783564241725014360168151452236562807320528686156592275109990151104805062670051410198383825667796309286908523378493825142143415853723916537490388492591900156278371611483222652446301220594401444916150848886358975470158820921959647800391984296715593626253418099789290035305060453588113409923740463283491048054512985368070383536709601273348317509}
   
6. {379,380,380,1976652950039198920586125776436403924965098318920800208468585355317152030379585621359490709649323507397698373664739271803275157562176775258807590913346851940847592079573544874049528982057122866126778621243037911312463533693706634164551688934574214854918576459087892012407179223692034317318757826840347195345626491850915110979485434199039841788509584685825062484859946116123596857,-2001833799235419342920432609834366385698774012465779368135958935335307506897820429550872051709100256224908272248613283510622172546441283602413822503192521551841666186373792177819527935854939844524772146249411223158216658949552997082239352495486941353175972733809731453323630816049664310639964221041393277804178099976315355247572014283897279204197428725688401188953207717173391047,-2002663494624595108674787831086958907577819906998535759651853759155173537113947243942069460092659835768886701330049613761435120234179389931615905187082666605300936922532968432488842303414795467151273959376008977553611853120873473990140495409173318882096863938623465827340708961695458793383004719333691363663926749834897287952064879767902045586703228146226297945715179166984260645}
   

复制代码

最小的正整数解 在$353*G$处取得.G是生成元 [ (-1143085574792587809276105720035/3594287312168570192079230481 :33550203141030979799777429630140102885144673/215486062116662135811845512908107094548871 : 1) ]

..

wayne

我发现 n=132的时候,论文的数据也不对. 应该分别是1566904,1566905,1566907位数

1. 156269454305445473849517933254674620728309547228398909030529684765676998705448160126709819563190774694800805322<<1566682>>231382532332323696689301961740700315343233160370482947394607024369948812475424265323740333672689398626908511269,
   
2. 435325950766667977722456811855288411840725684692793104912895826539796689282239447704157637387666189974637737637<<1566683>>306308181915317558544361630092488791920132850627140283964545109871579178882485656901378851612562430172658068676,
   
3. 595223675174725378474488283661935901541985253082983334743795655069201974643887656417492447208892775528641014028<<1566685>>495320388292325513482826418376221076937584715832974817819919224870436714565773999823049787547831154860186073429

复制代码

wayne

论文里提到 $n=616$是 $1<n<1000$以内最难的例子,生成元的高度最大,magma也计算不出生成元.
然后跑了15个小时,.找到了其中一个有理点.$y^2 + x y =x^3+(n^2+9 n+17) x^2+(n+3) (2 n+5) (2 n+7) x+(n+3)^2 (2 n+5)^2$

1. [-291363063431482552848227172685086233061051153679504349366684229971421105186488362447093978671361958654570353178413838907715272458919598568729496246281100779897240271857446715174694697049626827470916763615204458534818294856435441705167454666621187128466548416526912415284517407152611413780847727/235348037878151359059802910381016802428774304293218287014296992112459902780654079569720728371689557608284338618097694224943380822144675661931416461492462267657727117979682475146824442782347092140814968294712730852332131008319066665086003968184094090388006525272686835520116689275120700119481, 2251673276345999321336389208866302100856524608109543689291050115277951885162671074987568475119227770712869124362559290473824516533327390305670641248531926594289025668569610313956720001042031292751773171119838319729751282524794473366603632293194576574938018497032597271779390759646039681460110716421868684629490480560594723783075573354410843258519787872871085025930272286876255969062830165747257711149325861379345174199847155602725531339260/3610487725298030189631645602623349263448024084562525885611085481987781991920509656162003891394826109162219956256103844924662410973105572050839609304570304982073616826934356308105415920410295863040891421006181857119589468748450998258191831530423839764439099579090607092978114850099637260394117431817155136665146681415493053770123616775367175109008412993235741170483799719346292932090721072169788228678707914515148629290487501987714627629]

复制代码

回代进去得到 两个较小的解

1. {438,439,439,(347027425472861549235081722315035940023528616427446544365850315370190470655808333035967239231852443220054303028648462137966840695329913190219030308460660681645449735192157127402576152685761292305153695267747255256876069417466311674486357116410964090246380243710775376095448944340989987402503535984795197035267088335820174408830543303922549218239746154199281360263212540169735447238911723236259867087105564372843005770986806952417126693211,-347730888697706213412576763899111515424227633513978882855100696946697963704319591886094790595432572424820495390517875465453611802913741001185817832324452250457159874799315230170682694765861042682113026952846757676787832289305763485935948286753347932380725251693840309768119606490426594339302388181570085531177011920903081475475979588530557944281070194084136853405709302155772235961158795774008372924132110126103387100840304797574228118991,-430724302660333586035901793784028967184550664330191947281537809911196630053889623604337859904475433495445439278858739057589086073252474739379906934517725109281871328095538232064481898089532800147148796734038060697752112564800446392312073552544723673235056925675146197041354370892023209037754775795131080210615982282635796888389033079741373816345030971468108006592840894171184942485256349373841397430491168624143429836013522586141848824031),[(1, 2), (1, 5), (1, 6)] }
   
2. {439,440,440,(2214104942899005085501038464670628274848683301285500953603446653666599815959695225239513815548216528383462742318032898951953493132323259127761856420987782018602531370999047942030665284069321831379094984059905301516525075642292085573959158759583328058537826168655786216641277551418467181681584662101650682612612086425464901073441281950610270758341297616203385107251991199580833961194227735125500581505845840308942888013386480168471678316813,-2218144163429046965404741688222428923083756463606466435687042991778397685619772792369996819115633588082366869849171210288953523233998714187721396788549640482847078043183008424300902363394628013699069205505787183895692875911213427335205915958553873345922457293970249551356499527594128736038069405313713012663875534509731834226425272040084887828429609467814001278852421734649688534204916063036719401281850255817554353317306186232760847044383,-2251673276345999321336389208866302100856524608109543689291050115277951885162671074987568475119227770712869124362559290473824516533327390305670641248531926594289025668569610313956720001042031292751773171119838319729751282524794473366603632293194576574938018497032597271779390759646039681460110716421868684629490480560594723783075573354410843258519787872871085025930272286876255969062830165747257711149325861379345174199847155602725531339260),[(1, 0), (1, 1), (1, 3), (1, 4)] }

复制代码

wayne

总共确定 有 9组数据 论文给的不对, 另外两组 太大了,千万位的数, 还在计算中, https://nestwhile.com/res/unsual/

1. ## 130
   
2. {3722875, 3722875, 3722878}
   
3. {413634669952892467554428321651675805287309240076448092503951250096495325379044762481084356771848906033793741320<<3722652>>9944519646910603240841325699928798556142969132296951380490001916382811628645751936790995548090739985036782240203,926075468226395354576284590985114171852836613415076411479445620949276941583504382671588182637072415020834374367<<3722652>>6344026035701371315778668761033006683539483711374622044120658664232006387640057287725181277715713740790549314785,174152045604539417601210314585722935050230267122583843191975002516609540800702527617603614067287395412470377397<<3722655>>3073079705848364115508649307163868747462309681120300905116350844943725712953021292457513921103842461737259557489}
   
4. ## 132
   
5. {1566904, 1566905, 1566907}
   
6. {156269454305445473849517933254674620728309547228398909030529684765676998705448160126709819563190774694800805322<<1566681>>0231382532332323696689301961740700315343233160370482947394607024369948812475424265323740333672689398626908511269,435325950766667977722456811855288411840725684692793104912895826539796689282239447704157637387666189974637737637<<1566682>>9306308181915317558544361630092488791920132850627140283964545109871579178882485656901378851612562430172658068676,595223675174725378474488283661935901541985253082983334743795655069201974643887656417492447208892775528641014028<<1566684>>3495320388292325513482826418376221076937584715832974817819919224870436714565773999823049787547831154860186073429}
   
7. 
   
8. ## 156
   
9. {5231781, 5231782, 5231784}
   
10. {127207535856869812571465514340806789135400959097417057868290861824856152520986653293259182197229244221524721857<<5231558>>4340546393991245903499514752692034916909889963423251051227513481180005212865101804406660886466123932242232896884,512222762113284625065843674453478683255245656565347887490327730696327262648241973454236945469049964757033007025<<5231559>>6356954543226271879044751491829251139873654407391369470594613660642738683745090847131750236753930909405599933181,818878243051871512994048529966187025186080434614118637719828380485389468615870915733819361748432765559319426352<<5231561>>9686263756494089255477673806450766215353743581611051025099754972133793064219643257576762612669391430258167127229}
    
11. ## 158
    
12. {6556661, 6556663, 6556665}
    
13. {239663708850489526503282213725578564509047796292369494939759215810649672848303332702656566759110956214301855455<<6556438>>8398070490424407711978058017838602334640242841150426358753736295327814958567532626391098281298804205521025118559,229785101075143450708635656741830151324624125476745312273570391363393280120678704857076848470262809146720655584<<6556440>>5685205883788463341963549854121132611915287481822965097398863108766085931185770579790966801348931275701423548861,366832452557654574071723427096132898280797095976469480401489947772772806270448477824209084922476456867033980821<<6556442>>2673781435286506477189197183303311857273128099997754700203275682639200153624180808045113189569991706440688550669}
    
14. 
    
15. ## 162
    
16. {549408, 549408, 549410}
    
17. {1098696420086825727117266340295086874802819092924469455045097813080241255481168034801785173114598693914604184718<<549184>>3816664405381689427187545521706817325581702947677346556048981530211950052599906595728350096501546301862070970483,1728655348401852729612794286052821222833755233489216875787022177745986144158589158675239800107309093447648901403<<549184>>4109547316591928022881510088456260289483054804872895416249480577112808606037593964311418547235254892813891032865,4580135840822155806508286764924971459919566414373165588233522599467892717270130524048058047232266352483411800164<<549186>>2086385017764848778219112960381678984752740954589552020855115950149324469780182513802986293782264185706356626177}
    
18. ## 178
    
19. TBD
    
20. ## 182
    
21. {1228521, 1228522, 1228524}
    
22. {565463056821040212461390439808918469971272829518259537819704583947138568609001919915629861472108884715983865246<<1228298>>0254145895752737335108234101278988527930530413617141110120874055441995457642273557125746565518515705538275782901,265556664493724208090947398962125399226424052098319821373358895281537327973924860415538733612211049622162788597<<1228299>>5302782759166364177590126419244766533203818511668254086947431339966279100237203008115961673007690436851338825631,586209735294208054771436596778230561958593888391418675730664768711041746361275640399288413781365749200797012243<<1228301>>7557370242639405189625249486342877290438528875595185643003069649432926700063541034356627293203013179490863325903}
    
23. ##  184
    
24. {9020683, 9020684, 9020686}
    
25. {102717675779410471569390909520667784231406980623772917345519260547493112924230669633893754739778275498855394801<<9020460>>6482252904961069093445623493878178533040435357898028060403470618646947358589563021951445633436187153348574068443,120328289640893876024594184638457747308706184724636976678312671081649443794837768906502955701927798496617060089<<9020461>>4553916105353390518486301331499835915984692006151455549463767543220982400053598270567447476360953377214813113183,240297012819841874056122562403882691646554738468856760479929838128757379435634652256652697542565687645007725557<<9020463>>3890305326091614987646774537868564980381047604864592216829182545259480877577874761714315330685477374699420459212}
    
26. ## 186
    
27. {2363856, 2363858, 2363860}
    
28. {866889470152584064055999763034412185560691591967436245831023511064470407975329551458810399146439422453450970076<<2363633>>8057524674769201566369751345427812775923346061893733440809903435084785321910216460344456574510556548698566233040,151648608963465181468344925807403542321310370355249503266403168325439713260783771506526132979781338548913150482<<2363635>>8671782473618501436832077756477805427412648269519688620513988466521746260744779480694920003030092516206539340503,298181942075342708412050309733725250415093029120482856557874339291663908761778389433240374906265805653362561039<<2363637>>3427593571957904460401380301628333804869184151600398237933342374091821475307873769155977120233496251038711313827}
    
29. ## 196
    
30. {4917525, 4917526, 4917528}
    
31. {188361679676927516981053725209624811660201473009350234564962168863081603046738120669799514776491758466816696558<<4917302>>9361305637507503161285027157154355967797197482856793313582920001507864312407015844403168259279727790413521984009,103462183494915044826417486415350808687257334950723002282719775113408215059495533020338012591909561390300234462<<4917303>>0319640439125419949198614358387948830179042854771105780200470377284600126536584349383083148837075001448733738251,239698537268081539733863698537465011132434658147257844396048457861925366568905383639089923986924789721557722870<<4917305>>7454553550343280189223674496655515950339618225464866989059721144577420780694833830885489649828381717240013593339}
    
32. ## 200
    
33. TBD
    

复制代码

wayne

wayne 发表于 2025-7-20 11:05
挂机 跑了一晚上.算出了n=156的秩为1, 最小的正整数解的 三个数a,b,c 分别是 5231781,5231782,5231784 位数 ...

给论文的两个作者 发了邮件,  Allan.MacLeod 的邮件失效,服务器拒收了,幸好第一个人发成功了,给了回复. 2014年的论文, 我竟然是第一个人发现错误. 作者也不知道 为啥部分数据 会出现错误.
另外,作者的计算机比我强太多太多了, 瞬间计算并更正了178和200的数据.而我的电脑关于178和200的计算已经跑了3天多,计算进度只有60%.计算到了$1540*G$,要计算到 $2900*G$才会出结果

1. Dear ....,
   
2. 
   
3. Thank you for your email. Yes! You are correct: the published table is wrong. I no longer have the computer files that were used to perform the calculations, and I have no idea how the errors occurred. I re-computed the table today, and the results agree with your own computations for the nine cases you list. For the remaining two, I get for n=178: [ 173112148, 173112150, 173112152], and for n=200: [30932746, 30932744, 30932743]. The correct values are all a little less than one half the printed incorrect values, curious, but I do not understand how the error arose. Particularly, when the entry for N=198 is correct! Bizarre. You are the first person to contact me about the error. Thank you for checking so closely. If anyone writes to me in future about the error, I shall of course respond that you were the first to discover this.
   
4. 
   
5. This was a fun paper to work on.
   
6. 
   
7. With good wishes,
   
8. Andrew Bremner

复制代码

wayne

刚发现作者两三个月前给我发了邮件,说是 向期刊提交了论文勘误. 并提到了咱们的发现.

corrigendum.pdf (333.29 KB, 下载次数: 7)

2025-12-24 20:23 上传

点击文件名下载附件

northwolves

Even Ramanujan couldn't solve this problem without a powerful calculator.

nyy

你们牛！

aimisiyou

已知 \(\dfrac{400}{9}*a*a=(a+b+c)*(b+c-a)*(a+c-b)*(a+b-c)\)，\(a,b,c\) 均为正整数，求最小的 \((a,b,c)\)