又一道整数解问题

wayne

１）求 \(\D \frac{a}{b + c} +\frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} = 4 \) 的正整数解．
２）求 \(\D \frac{a}{b + c} +\frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} = N \) 的正整数解．

lsr314

https://math.stackexchange.com/q/402537/66964

葡萄糖

有哪些看起来很简单但做起来很难的数学题？
https://www.zhihu.com/question/36464952/answer/315059174

史上最贱的数学题
https://zhuanlan.zhihu.com/p/33853851

mathe

所有双变量三次方程最终都可以转化为椭圆曲线。
根据链接，本题对应椭圆曲线方程标准形式为$y^2=x^3+109x^2+224x$
在pari/gp中可以输入
E=ellinit([0,109,0,224,0]);
ellgenerators(E)
可以得出生成元[-100,260]
另外
ellanalyticrank(E)可以得出其对应椭圆曲线群是一维的（rank=1)
而此外elltors(E)还可以得出一个六阶元[56,728]
由此可以构造处对应椭圆曲线的所有解

wayne

给一个带参数的通解 ${a= (t^2+1) (3 t^3+8 t^2+14 t+11),b=(-t^2-2 t-2) (3 t^3+t^2+7 t-2),c= t^6+3 t^5+11 t^4+17 t^3+20 t^2+12 t-1}$

$\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c} = t^2+t+4$

1. FullSimplify[a/(b+c)+b/(a+c)+c/(b+a)/.Thread[{a,b,c}->{(t^2+1)(3t^3+8t^2+14t+11),-(t^2+2t+2)(3t^3+t^2+7t-2),t^6+3t^5+11t^4+17t^3+20t^2+12t-1}]]

复制代码

https://publikacio.uni-eszterhazy.hu/2858/1/AMI_43_from29to41.pdf
https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/2959701

wayne

我来走一下流程，熟悉熟悉Maple和PARI
我发现没有一个数学工具可以一步到位，比如Maple有Weierstrass变换，但是没有后续的椭圆曲线相关的点的运算。 而PARI/Gp没有Weierstrass变换。

首先 对$\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}-n $通分，并令$c=1$,就是$f(a,b,c,n) = a^3-a^2 b n+a^2 b-a^2 c n+a^2 c-a b^2 n+a b^2-2 a b c n+3 a b c-a c^2 n+a c^2+b^3-b^2 c n+b^2 c-b c^2 n+b c^2+c^3$
用Maple发现

1. gg := -a^2*b*n - a*b^2*n + a^3 + a^2*b - a^2*n + a*b^2 - 2*a*b*n + b^3 - b^2*n + a^2 + 3*a*b - a*n + b^2 - b*n + a + b + 1;
   
2. Weierstrassform(gg, a, b, x, y)
   

复制代码

得到对应的Weierstrass方程是$-\frac{1}{48} (2 n+3) \left(8 n^3+36 n^2+6 n-93\right) x-\frac{1}{864} \left(4 n^2+12 n-3\right) \left(16 n^4+96 n^3+120 n^2-216 n-423\right)+x^3+y^2 = 0$,
变换关系是$x\to a^2 (-n-2)+a \left(b (n+2) n+n^2+n-3\right)+b^2 (-n-2)+b \left(n^2+n-3\right)+\frac{2 n^2}{3}+n-\frac{7}{4}$
$y\to a^3 (n+2)^2+a^2 \left(-b n (n+2)^2-\frac{1}{2} (2 n (n+1)-5) (n+2)\right)+a \left(b^2 (n+2)^2-\frac{1}{2} b (2 n-3) (n+2)^2+\frac{1}{2} (11-n (n (2 n+7)+1))\right)+b^2 \left(-\frac{n}{2}-1\right)+\frac{1}{2} b \left(n^2+n-3\right)+\frac{1}{2} (n+2)^2$

逆变换表达式就是${a\to \frac{4 n^2+36 n+12 x-24 y+69}{2 \left(4 n^3+20 n^2+12 n x+9 n+24 x-42\right)},b\to \frac{4 n^2+36 n+12 x+24 y+69}{2 \left(4 n^3+20 n^2+12 n x+9 n+24 x-42\right)}}$

然后该PARI出场了。

1. n=4;
   
2. a4=-1/48*(3 + 2*n)*(-93 + 6*n + 36*n^2 + 8*n^3);
   
3. a6=(1/864)*(-3+12*n+4*n^2)*(-423-216*n+120*n^2+96*n^3+16*n^4);
   
4. e=ellinit([0,0,0,a4,a6]);
   
5. 
   
6. pts=ellratpoints(e,10000000)
   
7. file=fileopen("E:/pari_data.txt", "a");foreach(pts, p, filewrite(file, p));fileclose(file)
   
8. 
   

复制代码

1. [[103/36, 728/27], [103/36, -728/27], [5353/576, 28171/13824], [5353/576, -28171/13824], [-191/12, 65/2], [-191/12, -65/2], [-59/12, 49], [-59/12, -49], [97/12, 7/2], [97/12, -7/2], [109/12, 0], [121/12, 13/2], [121/12, -13/2], [277/12, 91], [277/12, -91], [2557/300, 91/125], [2557/300, -91/125], [29233/300, 237679/250], [29233/300, -237679/250], [7369/588, 13949/686], [7369/588, -13949/686], [109957/1452, 860496/1331], [109957/1452, -860496/1331], [26653/2028, 52577/2197], [26653/2028, -52577/2197], [244981/26508, 176995/103823], [244981/26508, -176995/103823], [41/6, 39/4], [41/6, -39/4], [-449023/71286, 263764935/5180116], [-449023/71286, -263764935/5180116]]

复制代码

通过变换，得到$\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}=4$的时候，a,b,c的值是

1. 
   
2. {-1,4,11}
   
3. {-5,9,11}
   
4. {-11,-9,5}
   
5. {-11,-4,1}
   
6. {-8784,5165,9499}
   
7. {-9071,5951,9841}
   
8. {-9499,-5165,8784}
   
9. {-9841,-5951,9071}
   
10. {-375326521,679733219,883659076}
    
11. {-934668779,-396650011,137430135}

复制代码

得到$\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}=14$的时候，a,b,c的值是

1. 
   
2. {-7,8,13}
   
3. {-13,-8,7}
   
4. {-33,37,47}
   
5. {-47,-37,33}
   
6. {-2075,683,2117}
   
7. {-2117,-683,2075}
   
8. {-2944,2769,3031}
   
9. {-3031,-2769,2944}
   
10. {-70242391,79121224,87621389}
    
11. {-77350969,96250941,258686551}
    

复制代码

wayne

不太会pari,所以又换成sagemath也来一把

1. n=4;
   
2. a4=-1/48*(3 + 2*n)*(-93 + 6*n + 36*n^2 + 8*n^3);
   
3. a6=(1/864)*(-3+12*n+4*n^2)*(-423-216*n+120*n^2+96*n^3+16*n^4);
   
4. E = EllipticCurve(QQ, [a4, a6])
   
5. gens = E.gens()
   
6. torsion_points = E.torsion_points()
   
7. print(f"Torsion points: {torsion_points}")
   
8. 
   
9. count = 20
   
10. idx=0;
    
11.     # print(f"扭转点 {idx}: {T.xy()}")
    
12. for idx in range(len(gens)):
    
13.     P = gens[idx]
    
14.     print(f"曲线: {E}")
    
15.     print(f"秩: {E.rank()}")
    
16.     print(f"生成元 P: {P.xy()}")
    
17.     point_list = []
    
18. 
    
19.     for nj in range(1, count):
    
20.         for T in torsion_points:
    
21.             nP = T+ nj * P
    
22.             x, y = nP.xy()
    
23.             
    
24.             point_list.append((x, y))
    
25. 
    
26.             # if y != 0: # 如果 y 不为 0, 添加其负点 -nP
    
27.             #     point_list.append((x, -y))
    
28. 
    
29.     with open(f"{idx}-{count}.txt", "w") as file:
    
30.         for i, point in enumerate(point_list):
    
31.             # {(69+36 n+4 n^2+12 x-24 y)/(-84+18 n+40 n^2+8 n^3+(48+24 n) x),(69+36 n+4 n^2+12 x+24 y)/(-84+18 n+40 n^2+8 n^3+(48+24 n) x)}
    
32.             x =-point[0];
    
33.             y= point[1];
    
34.             a = (69+36*n+4*n^2+12*x-24*y)/(-84+18*n+40*n^2+8*n^3+(48+24*n)*x);
    
35.             b = (69+36*n+4*n^2+12*x+24*y)/(-84+18*n+40*n^2+8*n^3+(48+24*n)*x);
    
36.             g = gcd(a, b);
    
37.             # print(f"{i+1}. {x},{y}, ({a/g}, {b/g},{1/g})")
    
38.             print(f"{i+1}. ({a/g}, {b/g},{1/g})")
    
39.             file.write(f"{{{a/g}, {b/g},{1/g}}}\n")
    
40. 
    

复制代码

1. {-7, 8,13}
   
2. {-47, -37,33}
   
3. {-8, -13,7}
   
4. {13, -7,8}
   
5. {-33, 47,37}
   
6. {37, -33,47}
   
7. {-2944, 3031,2769}
   
8. {-683, -2117,2075}
   
9. {-3031, -2769,2944}
   
10. {2769, -2944,3031}
    
11. {-2075, 683,2117}
    
12. {2117, -2075,683}
    
13. {-70242391, 87621389,79121224}
    
14. {258686551, -77350969,96250941}
    
15. {-87621389, -79121224,70242391}
    
16. {79121224, -70242391,87621389}
    
17. {-96250941, -258686551,77350969}
    
18. {-77350969, 96250941,258686551}
    
19. {-39916907914471, 24141191792896,41318111789175}
    
20. {29608446258479, -35519680411471,36944290005871}
    
21. {-24141191792896, -41318111789175,39916907914471}
    
22. {41318111789175, -39916907914471,24141191792896}
    
23. {-36944290005871, -29608446258479,35519680411471}
    
24. {-35519680411471, 36944290005871,29608446258479}
    
25. {-201923093593685850056, -2790108946030736398061,1601123448237051479}
    
26. {11105656193247684360749, -9611266072837145642921,11214726921595171905639}
    
27. {2790108946030736398061, -1601123448237051479,201923093593685850056}
    
28. {-1601123448237051479, 201923093593685850056,2790108946030736398061}
    
29. {-11214726921595171905639, -11105656193247684360749,9611266072837145642921}
    
30. {-9611266072837145642921, 11214726921595171905639,11105656193247684360749}
    

复制代码

wayne

这里特地补充知乎的回答,方便知乎的朋友查看: n=2025的时候,去重后(绝对值相同,符号不同的合并,且以正整数作为第一个)的答案是

1. Torsion points: [(0 : 1 : 0), (5475599/4 : 0 : 1), (5475603/4 : -4055/2 : 1), (5475603/4 : 4055/2 : 1), (5491823/4 : -8223540 : 1), (5491823/4 : 8223540 : 1)]
   
2. 曲线: Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 89946553161507/16*x + 164170418788974110447/32 over Rational Field
   
3. 秩: 1
   
4. 生成元 P: (207763902378272077356763211009026343475578470158917825793/151774355613800471455897910961952843994856467765824, 624069534363326208895080237821989383092838140881757844630931046806447141369345/1869810509712778683185483911379439911173796956042526514228934012614951736832)

复制代码

1. {757532811249434642112075810497833862306970482555791707093902731538465640977,-759432963202251692735151341728714204294646483203644361335209963527022593153,759745304783337732764439167258939600292974684385531115142090478681206634463}
   
2. {781196710994987736015709715922006323574875849224193531299329511619461188677,-1088614202028611278009255660801488290536019146306153752077604123119506281272,1088999194034852697246328822122740914496127706625800359723956415099829692435}
   
3. {32822446241532949314006715248147267287646417691013243150797989845170064156506710134854933638696777503028622608690<<74>>87004114071264487577968716654394279289732646415527865400860192066496500464107166927077622918975419270036970781089,-3340941731026738304927291234305940910560686389633059025710837633292781850990511540045458282054367037949493192621<<75>>99908180205966508891794332524531461810642604346276537876233251252611999101122003085359475231649183164698065255199,33425178771099990567585773867665401200729291486659936418354049461676583904520181205795569542058743965943351772784<<74>>83398320197920039744374025211387258559333417260957052902001951231314308768541339262283698043224733843422825550271}
   
4. {97906746281758996596721852097078180003989397057487614789535034614371911766524135984274768773964244839723893710147<<74>>97996602683296125486789127092720299610872267404873093480843190453852525225465439480489821158925827243423333350071,-1033111746782268768701872026525115540171543420685135111150104449556257203615718392510769105904017663510065258701<<76>>01426094125439833810319772603344514217757509199969094524859262753155603150105823628961711815868638577068489849735,10335905930973130514176616183888203488771096830417094166887578332181743513143258603659027406214127751825738761019<<75>>20788777006156850120762869430015383543944460983716927104394831859149821729281536307006393742507400118331995492624}
   
5. {78632447400050480352165648296739457480526331823678917176540080212734889891785231326113167828756109316941326289961<<448>>62180727111269323064999399202138691923954767805560968273604362268037293952446351716074253511585220944216982492607,-8780118846518501787609817114659082236505409633224672558104168522189840358899231231838568392605638739146598628281<<449>>47231106660104290029359850746301343770198355596255256175442016892256208573656360739560218472969645954438616873327,87839826442073498016237982507970137950156123340115130765025603233921992312987928388882113952699054379236598312377<<448>>86393417156296454738569590204881730617658993537721928160346750018397122749652965478936118493183375178910767526047}
   
6. {62050592641070741185965824305515598215518960023391247351338026609558611041826559286097076164763646302659517095206<<449>>59960252327250530982699113416575613151635543951736837849630119342145204140054681666440507510807960784311414664280,-6257590287795969133369462114864292427980312475152781221100252318647655670891564963309255709830648898674537010851<<450>>44514087230438549688299299584000100831196140890359530135706461833925415939302390671907554293531300148712812256853,62604835224648648035244242896945063912699771870764823636245136288804920678076437306678741353865242337676865756128<<449>>87514362517371814683275336934555089772537977047791449349548437022543119208435934511421601902972794691253709958493}
   
7. {7992599802678833806253071357118666903743931436154211518740843298816820253593151266383323700346573388731323736448<<973>>30606352804964264870316173546926525771220891272263014614470557906000477321736143121400392653890131566220263548671,-1607805316923492804008735100879470804934648515229621739681021082576247467758697484054645597692168419974573193274<<975>>4913438131405081660163017953692983123751975149125434412905855532789585230544355645716662681122838021917189029439,1608199496037968236958113148796943780029550781381201788975906534216702501531339360096148568436991574251025487156<<974>>14417175682683885549032153371455990582979429708119730314577816201189650681781673458694110306820423892076050643009}
   
8. {2220281586626127797822415096696580523025397110315544250763253241543463352307745154504268896402329987700905543154<<975>>76900818632634076535114101331291132655452634559182908458835126311773674425537152936507575520250248356133103434929,-2222447844786251789274960752321589840797000954394318573604281762483647172114029745239479592906695310846096572478<<976>>5133634656845144724290168669666956930829611710882835824368036148720525684223609571537122696399808554330572714464,2223175382653700360650334488089747854087520357533327568473375983930521828152297883443425120626292649433051625243<<975>>33350903728441712247601948216206582152989284690313446009585780850967578603900971709687572516639576652321030555055}
   
9. {1043636144857914689263505036248545906616156840368279807572600154508048982366233054566207554662200867901640936990<<1648>>80404476785266362226815986162913224980858336074914010148679599395384585147819140533753871699901619370114733349057,-3046695831874234902069789113786938147879360091653651597045690476587301813583681908482653767416678758511502645063<<1649>>7341916602805705130644607914569873829252020998455705497811243908241001057510630385354850409921164748054835539857,3047210631671449792892558395394366118768989050918120364854689353047406267138141506029643457559116077808294585885<<1648>>15027558050584712556577822467473194194852830206088824615299997213106225485276396656106784566074164763386392672993}
   
10. {4556220322203839147086848125357647784554067720107468590244793332302015874587685722613696625866728628881134439750<<1649>>45417386188330011733229423298931401058430171250424497056755601024678894451615832286253219578145643294961437318632,-4558563177630704461870245203056671704147156323429269040139134424477920964777255060003187690029663578125281589365<<1650>>8148672109223431414305717832906095393092067173683800885287026713394678114803673053300228583555564330198794896075,4559710343367878005894452520572150325247182660765051822044593940365556450765420053504408112510952017073169977645<<1649>>82316959708429008446294402951581558650529512904409202802612892915778596144084468542823274417395967816475291648643}
    
11. {5473145510720064378754534350137000063487960318622348192601947188705951632531421213649941941510646328719786055679<<2472>>21982231619179429015429626437207976918991196367209615055318245256439760624852515287213089457595320046757828736479,-6430272697860053304397274308137330784489364929354118718135048426905777801161687178005442841717168780670573991695<<2473>>5166729412732668421869676622503084160729923005276237276891408553650139468554142600481788917276710420352334014561,6432965828796456520466342357177939077651933716420304536477878382199720452487087329022599671472036860974014708105<<2472>>23759377819203616159844933951930646414696089282408600465834520886666834734830652752625570013368443558513077887041}
    
12. {5365363365087077395339141367136353670046481468979247145937755820524680568256481937777535052797836656759211001118<<2473>>47498146525635816046443620984306148169286863344357946115841934138437269162380484479811418220962090718248510218921,-5395649175621987011020012895493137835798418745322580622640018657359810151296468650203603035999000460472737622785<<2474>>9202664303062041189171656378878621983926973720159848597045719000673182346557961263463812331336448917197854971161,5398083838949157760682346025565158198327680098070080950062560689317226381082721950639205836740991188386358607932<<2473>>35765096397529877043634826637078435569757501439734958603878357014156167671646902410767520974040122726302479049520}
    
13. {9838541076297070108832792508604998450106323224985276633290334197867169149243351729812202191036813533697351253003<<3446>>19730894219814983430806142121327369428515876415929196173036403150000395596098948640498987559018024799440909218543,-1009832228932010319363242761576908797034314798471416657589878406523426015547196652419762973941174173678286892465<<3448>>1695812029077594516058469348300453371051502192819430892736041837076558681915254546810731118235525391662055028223,1010308810730714692360579236064044501391211068878070561983578719361451577783885133026460529896400451995247246816<<3447>>07428160552359251446176969263907276248929317254797912904212061238609486641890948478225050668917494915758437077153}
    
14. {3589168905017599102154924332102842765874823711009232197721443217804892810816468826274135505783270545150365918227<<3447>>93627397889245705561839576823022212798749386912009726293719216895450583106113360007603335146342626802361314647195,-3723352891122614346225497377968484166375884344806692088248883975075105331717084038915689943180472890411332259064<<3448>>8414221083258584237833127690324374260340509391812820026599027214588270050238144187097763129828071658310965736072,3725100916740666000965630984256389454991847425765782764777481029253903177238480307203410380154386078431809568939<<3447>>07420817780347343647410678835410805179435667035469533668221919921998239863889962216559194785683675462478844497357}
    
15. {9590654932880699560738307451199035723268059055201636332286769442675246164460943490804716323157598161142934387254<<4570>>63681807074666894064987455322566888433790100173966144618541625833364035993746580684527284771839238054653837853311,-9627913799292146484356806865479458129812433647097018300412733890635115078820676666979386398213787925641786486837<<4571>>8437267092906577914167610556001833199951819719427002135445367413723268413907804833978011388427935135574489930751,9632112824204553065650948833111021070234976361133251705182829458025226188513067922419073795190003796509242854862<<4570>>83299543408987283287607340534204051996982020924451139674915717502622035381940936154768565177333534258874222826879}
    
16. {1268781808383630643488586862251176925730731474381898514978387097308702490471509099982028112318909812997695191792<<4571>>88631222442546176314708364241664349642064547386072041948293662884806667289263353001824649084937283911614808816704,-1591164378246406500723340185627630842133534459341522727237536607289057958611767484670262957865398356805894723838<<4572>>5960001483390278337879735805730961623735428284715634311663501326173113831810296208325693668484837156855478566815,1591789241910977842367441908715583274723793710842018752183310972876161224242114844119424260520251437575082317516<<4571>>41148311199835473343703670491243848038038486896250800276126445575504689433821246491348762424353795901624857977951}
    
17. {1010652618039877299896067084592977604146708871052285135601942817209638544393804712645199148811152432733862602828<<5844>>72409259877575566072747675389336414089706160187053527962762673597365589482496772726350693412363892364929442529573,-5426890505060946856971252773808315610004729685981427059479124417763676363935274339052664007927195279948852904476<<5845>>8885704096520332450430789292545879410390632884102386162917654081275225094657381367097743654456491379114940567053,5427389082647854831155518163837054554312267488749996972274871902367876227337059557072427975797168247715755885770<<5844>>36626331641717980444606830693981763990173446126263546188366333510714072238658975378445411413626386362594199308040}
    
18. {5331238972687595546120151159935985871471189661838484801564687834061567209746741542199785473833781286257084941181<<5844>>52178975407918499626420072908164919224400000043774640001476207220766176887066553924968605264899364111173405370273,-5332442957778166953776450825193884163115749119042111053134187739130689637565538785388376294538976604730948989616<<5845>>3718917728291537664915237719167329081858138804170934495347037002022980687302987758634359706123666935716236859647,5333268843166859288044010194523571628362049772154866013604121666103989795564049530731596967840901539000266123342<<5844>>69026108343196761691012032670466011942230453813944820562132804313872147985461334630030511371704920048466570600687}
    
19. {1321256110453673700131635342970648807254263893474911654938118323758460638925683698359030225648453846646172630394<<7268>>18366985729781883528505292079577998588172806430331037825817911936684978562113979980753441511775683899083266024425,-2154579206001819293303527011024252317165147591100113482135988264651325936427971541047686722389179158169147793031<<7269>>3344466581334514031684823615611296841059517181981967457676993695488048234956894211236147214950290275855725785049,2155230646766386149828510546963911058437725559500660318858121414693527699639838728242420508595922396415233606949<<7268>>56133372567206656029447968452485361045761600177204163526635249373563371942878673834964766540786616472632884443824}
    
20. {1700924397556058860734070506791740460937090140246953981047862022466378054624110946382620324048304418172209721494<<7268>>16521878943698028707952831545620897919190392947238009900663448669833698821654705623052259527526722784373467967199,-1703586333547435672894137224808173387824951407809939308790742550702154685672907936068405060452551740074223367958<<7269>>1389049993463128318174903862532306487654748356040051997407649741768769550991262207365809924931500282871353297249,1704224406664175790143807464301326367537051854221737477940812913582530532438579897408631832590456888311941529159<<7268>>19374347134758760376576458644222123819711566974584108928804418007597965164652835618874329605813271879575419946049}
    
21. {3109240552054519569251965889702172569042991055747731689951194490081354813605104257306904089200633135810279397799<<8841>>69016955880372041732800226216023375844631508534886718511796341122687775219700815825367558604348961927883475854273,-3146794658443797481329815664466327650636651667284956226772198423651813683122821621194343369131464170551672489330<<8842>>8688023935504173210676202261651841528800972744873550070115286256086361063930460305194152691864311301482819921297,3148268696202252480351529691715238194293926809154713250216305331524922881900862465027708919514799617099737180462<<8841>>45424220652374818555897054532411534094997231426021005335574750882669726027282662356545038142771826363611596295137}
    
22. {7562470227782989103110735901896430037137235364274972646872344618853042162842823353590443473421013700862180250077<<8841>>80396376419622671610418244050822615027782264912514094973380445177823836062895791724614917026454961537273487321448,-8180545577646059069542448836754711974277668564927527331388514187847069138442890306403980958247554988212069650973<<8842>>6208669735853058686801377660922416032478062903333071853304382152718572702567503379466932862844452846780296459403,8184254923733212537590953153722201192645647221552934479034453925756662190694106034786135102907126138317635229521<<8841>>18084440779039350635479943174221405717378925228988558308013917209279565661022943700717858954863850812974446507715}
    
23. {3183495332750320269655282075692879784776890725248089503029264338760445516545566366359846864430211130176996992981<<10565>>5404209220684754000795947264869286018247436926699754571704089309515509565573022795373032376330189938507386773761,-343306425442801574654294453022328353478804532574765773630585095440675791271671454212159116991678198713910084459<<10566>>5205757162070505379553298581622428242022211206364615240304025713120985323397842859140335165668463176753075745601,3434625341586413871153311692659941708624439891573432281317523878796136187349483873627988058835717934070050426660<<10565>>6730533030061603903943407955336539735860000047063550552260560577698996620740622123196025991594968497716111862079}
    
24. {2039080572978617458270006394078571453106760857428258417831633721829381120386599233308364826355553237747071337932<<10566>>4124077925926495539729572589995379055906076389342497362877278106598867289810524235410381981154674959038706263279,-206475668325666440286256497409840442270093784902676793927228365259366357452805485923041900787124340263826674138<<10567>>0383166639191338742459961956115520361209856890301670568945739839309763058023282068485251603554955512618805471840,2065724927788653383751045058727226831935570992599499596004776441523979883405900952045625245769930666839218476021<<10566>>9846855758165410552272830180671618574738665550966274288116092547118388873940934445199916136208957786979278754801}
    
25. {1549826553394709716025725139283167686404254519289716187193592197570246446602929010030143842707238784738966673919<<12438>>1047287256592321021970337061260208551452580293088167365756975015745451033572266773222272142958624869609005788993,-247770401665058691703105984117620679829642936898225174566369575565831265253905865715322034823462143422759765367<<12439>>0600076228081088327938525836389251121880299352145934208639329943589115128744730606982729974405397696455667806623,2478468123096867501919066874377827159871152956570840516638578020062663505474653419899284366548565331023237630165<<12438>>3154956955152327280762711149503984811437739279380368313678126276642637825721360165825475718527632142323151003503}
    
26. {3076042578307589050558003314966281474361413997719745071829570821350316236898426424313674389271348463722401203381<<12439>>8575286442778925549037465318223844822744804791725697944558265258829371644473232545272585816643437569029598329245,-308111395439731855396080766884443145253604831687146050904629625419121942559813407909042105750774842195264708391<<12440>>1115596619751820528347294875830104010564121073806361935365700747492497608095620311966116336388176972025892120597,3082282095250770976531748091908149717154649118871942886984341263896201492518908113317862586544253859072678790368<<12439>>8805220123405757995521107701832375868287570924614034631098327463952694028502764312319961711473759287430583171032}
    
27. {2827322937049851228755149234454551761998281331876662992961223230296989820522051102621931975988346759872348208530<<14460>>1570287136491742572441247163347292363673784927980030705205119291863656365400994868290387094028681562613234844321,-169355872505140926415424267326062997865830006027551066516652822231231047223052721313258539119190939084638554914<<14462>>2251886189644081727969265572985096916048099630372958220832243467546391470999939870998856019764927929214639836191,1693698204227847054865727978667062601509403832333269608895685444525249188490829966709668018583613200803694840942<<14461>>0254700889152459032131805380293508970996127783526633007070731169200659190695917512277443188065534194527116453311}
    
28. {2658270071927475449046398473643768896436535699622809790708254862502343097649330475739273878776125651591648002887<<14462>>9947412732055363068109490740269453919810656172985196372303474099208860180076363589756562416326186787044285973495,-265879577253055142790327282302075953828704650891679210842085322302995877805242369458149532925425684538728017251<<14463>>8617640635553664405603546935638111079277000238720032557953748660432356265973955560178800232682889436747505507911,2659171031011216479625924496480985561753654171624117070861343783120303852508004491237667791183936745390376243915<<14462>>0618367677147875081590786853456884482032294994994095941073257832802509811358607955340486965071003127303710206096}
    
29. {1068322027514851482022015910863420372676169874379543011207367660600685773963172731239513162563036359277413211087<<16634>>4719130306905712776961795148480821328826992407971088937610440784466516144293980217247856231457297773510211506193,-135228327623054886107269388759754152878320972121410622750003787809246243433586265342242815759084294272089434770<<16635>>4862376858902577979350581901054863371177704154958970875882955640231300141894409022203260067546335533711735633793,1352809459620799345418238072560859358480305453349160398909335496720463291412331872825310053404063865783178884384<<16634>>5779575713507150447186933126046079443166694588333457044182557742964239430991370787841728402342682349093611421407}
    
30. {1318509044775690529657477736375483406261106642840467234399012858271821674139629403333122420480114198361546804301<<16635>>8763077898698745833657917004820931699498915274869070642781825616588839060431633913562273593379997497803047913093,-132340560653050818725361945577868887952746066211735483555103320037906703481057666964301209383543420122387892124<<16636>>3473092160768322023086997264843799267278328516046971979869015943943052172586996538251333430167352904523724777400,1323979897434451003739491961454231709980550543235892493675497767936948405002194671607897340172314205842007205574<<16635>>8769191445600052671338098339277996342272226905673759769245298762548768289980582949321623349852867645536493850707}
    
31. {8368761201886118562005587780090539613942306846663059095400098239881942553626225968583005352463985613644939597950<<18956>>2159054090733881262439902444849523882600503066065405388498933809597067376044191167544298988824663754047027045121,-869475881776772477347991263880818118381519502708242335530691032867239993617208553048536261809645018296983301944<<18957>>8623982773156155883678849821500612721651252303810088556444088888829817953092560589015185422627611867398668914689,8698836777536240933351585522315402823494377645255329624798290874008077010874008007780711208773126586692935302724<<18956>>3270846443999041903284639202690099283217933988746185255200171346213931456086445906818224446627588300457207217409}
    
32. {3730708397828197389286524605424367977463374292811706550824931987201752436351924614091794950621793936681339107852<<18957>>2827069075523092777031119017808252135317114203153925421603897000086682245441338546344286700103824410174973151104,-382524975562472434595243649469881428594172334060370497805201417893574932019055932642363047563893686739489352582<<18958>>2399787086299715119758696569090593386651927648698134831072292340536156628486611872129196920385784855350731857089,3827055531533029445410718649497354010409326417235995409026355458676118210772274381171546140581299917222719621616<<18957>>0101906889621281703697809048295635507576930134529310842763606975562960495750277025006542697701116534052330115905}
    
33. {3451290805821736113222509141012614318253622475080505493976884647105828956087648807534707605548913034128977570302<<21429>>8916956997313657500152434817486776288683432827373539060293683855855491220825685056014085848338429443909186883807,-347163518090020776008172809730784440081900913099724104816933749644674578294383510788290030450093816001030412537<<21430>>4840581709098384368421815947613122233456653696439937944450546387389710339618370572325269621981302363536963694977,3473206648021912518982919599930062243436229707406043944583735025773599690644236209729501043486077195892226373755<<21429>>3306855196068535818974796241835635601325681511301778141946476987511071636339186459969388067710116724459355386897}
    
34. {5738371551826530790969198183897835782713976883462132249241830040394406902621777132649350040101829502984449051895<<21429>>5063121294335517966708191462171061702432202132646325097391591409833258884879189426736763151406825102369375976955,-669931810304436874619064486436349278932065445303628934791316418598195904224537767834243422627508794015259380691<<21430>>6712060710092293875868971291510314530318036234727433404730157319775460311428273657653632651820542951055383810003,6702141391983190975058673992547875411838446008988417195379146170081075192197420091953893873961154854383732323330<<21429>>7093648000017739889481033937325831735589694330896319062757701081918419549469253320394975365830460790009959530168}
    
35. {3119066048468114188982217258282189760170503924909299332983459027028905756284209106991050956078145054778178725950<<24051>>7011643153909923550520845118250084259169960008883593798342217837434471816751984027340866526762887350280352464521,-866409872048844281373443489412402779589179187753629784545063086993759853602996220887598273170526370245072093831<<24052>>8425506243550513059500035825527654447388790530741342126774799962195609302000887442619216396699532325912233359760,8665637254087961189408503393627536152192462476614503459070118497254284933068982752483560227741572730891631648002<<24051>>0047728719559581841025456414837577815375012578168795607256369150513908464576455836221304167085781660622448486599}
    
36. {8081017539845689825305433906171929953834844693413854798839976837484961685964883619587806524439493693282667777601<<24051>>9163569423200450076215453471681517779190477572607226659499382377092232581775287748467384334051021259346058223039,-808550371427486192095695619040889399070752325349733248557197901891551005239805660231845053562829483125403614477<<24052>>9350814036446735409668755864734480702643143812888580736621416983882830772732519725127833210936639434037715552799,8087614584879194053245449335764656668055556654204517756011616470164284273061116245227082622459686203293399494774<<24051>>6010657670156347536278401876503771187699993610426496509015605857208568255555223105962157852005629419787290562721}
    
37. {5974810888698828568237549356347735404331244570084005114594625360706684403325354300831474104086653590073233055135<<26823>>3641232922786806985643205920730948865676264778031694877719898629042723675655740287427818547823712296153175007448,-123965935424289678862833292343823506168574600456931072015637355855460636946182773860491381563986917761297333027<<26825>>5613986393747281240871163550371918978604840796333466858434120517699837789968722578066134033817399002133790606485,1239954027482619497702493753482006967349880780936355853377876639128441151313484658868479376983462025204626178708<<26824>>8817989196840431398750151737954942362735562563098209175771181747067138495680767340121475602308152810819592179997}
    
38. {1085749453591024283310769293188122473383859876466562521006729573695604891395141017938044479697714239555521426798<<26824>>7650198043580095066479181666361116643215957070646446865918618956964682006428017821629182413854956555092459305663,-108674649621487469078694124517782693850571886243782107827100793028855061325511499057655020095822294539263475970<<26825>>3951284899231077767328688028725515980714671925731811418013799263614671901963974312197372765768575126134444520303,1087094959731756980997684568022833313472669688478333077653186462774728858960648326176090335017662589063292976572<<26824>>8809794666928845862371079496706102423583435769701470483145310039055380926819724062880316401446743731073328205727}

复制代码