一道不定方程

manthanein

已知非负整数n使得n!+1和(n+1)!+1都是平方数，问n是否一定等于4？

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. Do[If[IntegerQ[Sqrt[n!+1]]&&IntegerQ[Sqrt[(n+1)!+1]],Print[n]],{n,0,1000}]
   

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1000以内,只存在4

northwolves

Brown numbers,see

http://mathworld.wolfram.com/BrocardsProblem.html

zuijianqiugen

northwolves 发表于 2018-3-16 20:13
Brown numbers,see

http://mathworld.wolfram.com/BrocardsProblem.html

能否翻译一下？

liangbch

给出半机器半人工形式的翻译，凑乎着看吧。

Brocard的问题是这样的，要求找到满足条件的整数n， 使得\(n!+1\)是平方数 \(m^2\), 其中n！是阶乘 （Brocard 1876，1885）。唯一已知的解是n=4，5和7. 数对儿(m,n)称为布朗数。1906年，格拉尔丁声称，如果m>71，那么m必须至少有20位数字。由于不了解Brocard的查询，Ramanujan在1913年也考虑过同样的问题.Gupta（1935）指出，计算n！到n=63，没有得到更多的解。几乎可以肯定的是，没有更多的解（Guy 1994）。事实上，Dabrowski（1996）已经表明，对于普通的A，上述公式的广义形式为 \(n!+A=k^2\)，只有有限的几个解。尽管这个结果要求假设abc猜想的弱形式，当A是一个平方数时。当 \(n<=10^7\)（Wells 1986，p. 70）时，没有其他解，Berndt和Galway进一步搜索n到\(10^9\)，但没有找到任何更多的解。威尔逊也计算出最小的k, 使得\(n!+k^2\)是一个平方数，从n=4开始，给出结果1，3，1，9，27，15，18，288，288，420，464，1856，...（OEIS A038202）。