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[提问] 一道不定方程

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发表于 2018-3-12 02:32:07 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知非负整数n使得n!+1和(n+1)!+1都是平方数,问n是否一定等于4?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-3-12 11:47:56 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. Do[If[IntegerQ[Sqrt[n!+1]]&&IntegerQ[Sqrt[(n+1)!+1]],Print[n]],{n,0,1000}]
复制代码


1000以内,只存在4
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-3-16 20:13:42 | 显示全部楼层
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-3-17 09:53:50 | 显示全部楼层
northwolves 发表于 2018-3-16 20:13
Brown numbers,see

http://mathworld.wolfram.com/BrocardsProblem.html

能否翻译一下?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-3-17 15:33:55 | 显示全部楼层
给出半机器半人工形式的翻译,凑乎着看吧。

Brocard的问题是这样的,要求找到满足条件的整数n, 使得\(n!+1\)是平方数 \(m^2\), 其中n!是阶乘 (Brocard 1876,1885)。唯一已知的解是n=4,5和7. 数对儿(m,n)称为布朗数。1906年,格拉尔丁声称,如果m>71,那么m必须至少有20位数字。由于不了解Brocard的查询,Ramanujan在1913年也考虑过同样的问题.Gupta(1935)指出,计算n!到n=63,没有得到更多的解。几乎可以肯定的是,没有更多的解(Guy 1994)。事实上,Dabrowski(1996)已经表明,对于普通的A,上述公式的广义形式为 \(n!+A=k^2\),只有有限的几个解。尽管这个结果要求假设abc猜想的弱形式,当A是一个平方数时。当 \(n<=10^7\)(Wells 1986,p. 70)时,没有其他解,Berndt和Galway进一步搜索n到\(10^9\),但没有找到任何更多的解。威尔逊也计算出最小的k, 使得\(n!+k^2\)是一个平方数,从n=4开始,给出结果1,3,1,9,27,15,18,288,288,420,464,1856,...(OEIS A038202)。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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