一个数列的求和问题

shufubisheng

已知：m、n、k为自然数，且

a(n)=[(-1)^n]×[m!/(m-n)!]×[k!/(k+n+1)!]



求证：

S=a(0)+a(1)+a(2)+……+a(m)=1/(k+m+1)

mathe

对m数学归纳，m=0代入显然成功。
设对于m=s成立，对于m=s+1
S(s+1,k)=a(0)-(s+1)/(k+1)*S(s,k+1)=1/(k+1)-(s+1)/((k+1)(s+k+2))

shufubisheng

mathe 发表于 2018-8-25 20:40
对m数学归纳，m=0代入显然成功。
设对于m=s成立，对于m=s+1
S(s+1,k)=a(0)-(s+1)/(k+1)*S(s,k+1)=1/(k+1) ...

感谢提供简单证明方法

fungarwai

$\frac{m!k!}{(k+m+1)!}\sum_{n=0}^m (-1)^n C_{k+1+m}^{k+1+n}$

和式里就一个组合数还数归？

$\sum_{n=0}^m (-1)^n C_{k+1+m}^{k+1+n}=(-1)^m +\sum_{n=0}^{m-1}
((-1)^n C_{k+m}^{k+n}-(-1)^{n+1} C_{k+m}^{k+n+1})=C_{k+m}^{k}$

shufubisheng

fungarwai 发表于 2018-8-26 08:09
$\frac{m!k!}{(k+m+1)!}\sum_{n=0}^m (-1)^n C_{k+1+m}^{k+1+n}$

和式里就一个组合数还数归？

数归法的技巧性太强，此组合法更加直观。