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[提问] 一个数列的求和问题

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发表于 2018-8-25 19:37:08 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知:m、n、k为自然数,且

a(n)=[(-1)^n]×[m!/(m-n)!]×[k!/(k+n+1)!]



求证:

S=a(0)+a(1)+a(2)+……+a(m)=1/(k+m+1)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-8-25 20:40:55 来自手机 | 显示全部楼层
对m数学归纳,m=0代入显然成功。
设对于m=s成立,对于m=s+1
S(s+1,k)=a(0)-(s+1)/(k+1)*S(s,k+1)=1/(k+1)-(s+1)/((k+1)(s+k+2))

点评

嗯,明白了,多谢  发表于 2018-8-27 09:39
对m进行归纳假设是需要说明在这种情况下对任意的k结果都成立,于是我们不需要再对k进行归纳假设了  发表于 2018-8-27 07:50
在$a_n(m,k)$的表达式里,k和m并不对称,所以$S(m,k)$的假设与推理的过程应该不完全一样  发表于 2018-8-26 11:14
楼主的问题本质上是两个变量,感觉使用归纳法的时候,是不是应该在两个变量上都要进行归纳法证明才算严谨  发表于 2018-8-26 10:58
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-8-25 21:50:18 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-8-25 20:40
对m数学归纳,m=0代入显然成功。
设对于m=s成立,对于m=s+1
S(s+1,k)=a(0)-(s+1)/(k+1)*S(s,k+1)=1/(k+1) ...

感谢提供简单证明方法
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-8-26 08:09:47 | 显示全部楼层
$\frac{m!k!}{(k+m+1)!}\sum_{n=0}^m (-1)^n C_{k+1+m}^{k+1+n}$

和式里就一个组合数还数归?

$\sum_{n=0}^m (-1)^n C_{k+1+m}^{k+1+n}=(-1)^m +\sum_{n=0}^{m-1}
((-1)^n C_{k+m}^{k+n}-(-1)^{n+1} C_{k+m}^{k+n+1})=C_{k+m}^{k}$

点评

数归法是万能法  发表于 2018-8-26 15:21
赞。很不错  发表于 2018-8-26 11:03
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-8-26 13:50:37 | 显示全部楼层
fungarwai 发表于 2018-8-26 08:09
$\frac{m!k!}{(k+m+1)!}\sum_{n=0}^m (-1)^n C_{k+1+m}^{k+1+n}$

和式里就一个组合数还数归?

数归法的技巧性太强,此组合法更加直观。

点评

恰恰相反吧,数归法是 构造法,是方法的方法。  发表于 2018-8-26 15:47
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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