不定方程x^3-y^3-z^3=3^t*2xyz

lsr314

求不定方程 $x^3-y^3-z^3=3^t*2xyz$ 的正整数解（$t>=1$）。
$t=1$时，$x^3-y^3-z^3=6xyz$ 有解 $x=52,y=21,z=19$,由椭圆曲线的加法运算，方程有无穷多个解。
比如，另一个互素解是 $x=3096807,y=124904,z=2847511$.
希望找到一组$t>1$的解，已经穷举了$x<5000$的情况。

补充内容 (2018-8-30 09:11):
$x<13000$内也无解。

xiaoshuchong

当$t=1$, $x,y,z$满足
\[\begin{eqnarray*}
x,y,z&=&3v+27,-u+3v-5,u+3v-4\\u^{2}+u&=&v^{3}-54v-88
\end{eqnarray*}\]
使得$x^{3}-y^{3}-z^{3}=6xyz$成立，比如
\[\begin{eqnarray*}
x&=&52\\y&=&21\\z&=&19\\x&=&3096807\\y&=&2847511\\z&=&124904\\x&=&458665691607396\\y&=&203863624933571\\z&=&150777667094725\\x&=&84573893519721693268169777\\y&=&71494678266896520634735569\\z&=&6593378373315887264027696
\end{eqnarray*}\]

t=2略。。。（有解）

当$t=3 $, $x,y,z$满足
\[\begin{eqnarray*}
x,y,z&=&3v+2187,-u+27v-6557,u+27v-6556\\u^{2}+u&=&v^{3}-177390v+28599392
\end{eqnarray*}\]
使得$x^{3}-y^{3}-z^{3}= 54xyz$成立，比如
\[\begin{eqnarray*}
x&=&1137565\\y&=&647349\\z&=&30196\\x&=&136137329919791087884527\\y&=&44080807952027938998335\\z&=&7520310472370977886872\\x&=&17139751325371314487876399\\&&92545199443071625501858627\\y&=&31556865422427721619349277\\&&0445758102063872435295547\\z&=&17114613013954691097095409\\&&5543329699397363203005060
\end{eqnarray*}\]


当$t= 4$, $x,y,z$满足
\[\begin{eqnarray*}
x,y,z&=&3v+19683,-u+81v-177143,u+81v-177142\\u^{2}+u&=&v^{3}-14349636v+20918049194
\end{eqnarray*}\]
使得$x^{3}-y^{3}-z^{3}=162 xyz$成立，比如
\[\begin{eqnarray*}
x&=&44334184670964\\y&=&18359866789309\\z&=&613899299195\\x&=&15998779645819562020843149\\&&91468658538194031293055927671\\y&=&274366490188607311940645460\\&&916525755665946408293066856\\z&=&572943338437376824792444334\\&&52312678979303975599161735\\x&=&469942231094507797611574349360109341\\&&857661357186361458692965640842960387\\&&818886695636522809903450554439611124\\&&16748465854219\\y&=&408298385625297753922126797777414537\\&&251671913356520829343125130862104034\\&&833910710504654975549678541869482072\\&&5937645191460\\z&=&333546154848817173434740119961703988\\&&514599942934342048763849202265831362\\&&758456493270531175891863957182798320\\&&6028499571379
\end{eqnarray*}\]

wayne

楼上可否补充一下过程. 谢谢

xiaoshuchong

wayne 发表于 2022-3-22 09:30
楼上可否补充一下过程. 谢谢

好的。

这是一个典型的椭圆曲线问题。
对x,y,z进行如下变换
\[\begin{eqnarray*}
\left[\begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array}\right]&=&\left[\begin{array}{ccc}
0 & 3 & 0\\
-1 & 0 & 0\\
1 & k & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
U\\
3V\\
9\left(27-k^{3}\right)
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}\]
则U,V满足如下椭圆曲线标准形式
\[\begin{eqnarray*}
U^{2}+3kUV+9aU&=&V^{3}-9k^{2}V^{2}-27kaV-27a^{2}
\end{eqnarray*}\]

t=0,5时，椭圆曲线秩为0，方程无非平凡解。
t=1,2,3,4,6, 曲线秩为1，方程有无穷多非平凡解。
t>6, 未知。 系数很大，很难计算。
比如t=7时，椭圆曲线最小模型是
\[\begin{eqnarray*}
u^{2}+u&=&v^{3}-7625597504670v+8105110253736186512
\end{eqnarray*}\]
没算出来这条曲线是否有有理点。