有关数值计算证明法的问题

shufubisheng

（1）事实上，有些数值计算是可以作为证明方法的，只要保证其精度即可。

（2）以 f(x)=(1+1/x)^x+(1+x)^(1/x) ≤ 4 为例，只要取x=0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1，通过数值计算，就可以得出 f(x) ≤ 4 。

（3）问题是，上面的数值计算，也可以作为证明方法否？

（4）实在不行的话，还可以再增加10个点：
        x=0、0.5、0.1、0.15、0.2、0.25、0.3、0.35、0.4、0.45、0.5、0.55、0.6、0.65、0.7、0.75、0.8、0.85、0.9、0.95、1，
通过数值计算，还是得出 f(x) ≤ 4 。

（5）无论增加多少点，总是得出 f(x) ≤ 4 。

kastin

反例：无论多少个点，只要函数值不超过4，总可以找到一个高阶多项式保证通过这些点，但除了这些点以外的点的函数值则不能保证不超过4（龙格现象）。当采样的点足够密集时，多项式阶数也逐渐增大。

shufubisheng

kastin 发表于 2018-9-7 11:33
反例：无论多少个点，只要函数值不超过4，总可以找到一个高阶多项式保证通过这些点，但除了这些点以外的点 ...

看来上面的数值计算，不可以作为证明方法。

mathematica

既可以又不可以，
如果你是搞物理的，那么你举出来的点越多，那么越可靠，
如果你是搞数学的，就算你举出来再多的点也没用！

shufubisheng

mathematica 发表于 2018-9-7 13:02
既可以又不可以，
如果你是搞物理的，那么你举出来的点越多，那么越可靠，
如果你是搞数学的，就算你举出 ...

1、那你宣传的“数值解万岁”是何意义？
2、证明 (1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ≤ 4 的方法找出否？

kastin

令$f(x)=(1+1/x)^x$，只需研究 $g(x)=f(x)+f(1/x)$的性质. 不难发现，$g(x)$在变换$x\to 1/x$下保持不变，该变换将$(0,1]$上的点映射到$[1,+\infty)$，因此只需要研究其中一个区间即可。若能证明$g(x)$在其中一个区间单调，那么必然在$x=1$处取得最值4。因此问题归结为证明$g(x)$在$(0,1]$上单调递增，或证明在$[1,+\infty)$上单调递减。

shufubisheng

kastin 发表于 2018-9-7 15:45
令$f(x)=(1+1/x)^x$，只需研究 $g(x)=f(x)+f(1/x)$的性质. 不难发现，$g(x)$在变换$x\to 1/x$下保持不变， ...

g(x)在其中一个区间单调————这只是充分条件，但不是必要条件。

反例————y=x(x^2-3)+3 在区间[-3，3]内。

mathe

我在另外一个帖子里面已经说明过了，对于极值点x=1的领域，我们需要首先给出函数的三阶导数绝对值的一个粗糙上界，由此，就可以通过数值计算证明其二阶导数在x=1的领域小于0，于是证明了在领域内x=1的取值是最大值。然后在更大的范围内，我们需要先给出一阶导数绝对值的粗糙上界，由此可以通过数值计算证明那些部分f(x)的最大值也不超过4.

shufubisheng

mathe 发表于 2018-9-7 17:51
我在另外一个帖子里面已经说明过了，对于极值点x=1的领域，我们需要首先给出函数的三阶导数绝对值的一个粗 ...

你在那个帖子证明的？望提供网页。