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[提问] 有关数值计算证明法的问题

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发表于 2018-9-6 14:12:33 | 显示全部楼层 |阅读模式

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(1)事实上,有些数值计算是可以作为证明方法的,只要保证其精度即可。

(2)以 f(x)=(1+1/x)^x+(1+x)^(1/x) ≤ 4 为例,只要取x=0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1,通过数值计算,就可以得出 f(x) ≤ 4 。

(3)问题是,上面的数值计算,也可以作为证明方法否?

(4)实在不行的话,还可以再增加10个点:
        x=0、0.5、0.1、0.15、0.2、0.25、0.3、0.35、0.4、0.45、0.5、0.55、0.6、0.65、0.7、0.75、0.8、0.85、0.9、0.95、1,
通过数值计算,还是得出 f(x) ≤ 4 。

(5)无论增加多少点,总是得出 f(x) ≤ 4 。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-7 11:33:34 | 显示全部楼层
反例:无论多少个点,只要函数值不超过4,总可以找到一个高阶多项式保证通过这些点,但除了这些点以外的点的函数值则不能保证不超过4(龙格现象)。当采样的点足够密集时,多项式阶数也逐渐增大。
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 楼主| 发表于 2018-9-7 12:19:14 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2018-9-7 11:33
反例:无论多少个点,只要函数值不超过4,总可以找到一个高阶多项式保证通过这些点,但除了这些点以外的点 ...


看来上面的数值计算,不可以作为证明方法。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-9-7 13:02:39 | 显示全部楼层
既可以又不可以,
如果你是搞物理的,那么你举出来的点越多,那么越可靠,
如果你是搞数学的,就算你举出来再多的点也没用!
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 楼主| 发表于 2018-9-7 14:25:42 | 显示全部楼层
本帖最后由 shufubisheng 于 2018-9-7 14:27 编辑
mathematica 发表于 2018-9-7 13:02
既可以又不可以,
如果你是搞物理的,那么你举出来的点越多,那么越可靠,
如果你是搞数学的,就算你举出 ...


1、那你宣传的“数值解万岁”是何意义?
2、证明 (1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ≤ 4 的方法找出否?
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发表于 2018-9-7 15:45:30 | 显示全部楼层
令$f(x)=(1+1/x)^x$,只需研究 $g(x)=f(x)+f(1/x)$的性质. 不难发现,$g(x)$在变换$x\to 1/x$下保持不变,该变换将$(0,1]$上的点映射到$[1,+\infty)$,因此只需要研究其中一个区间即可。若能证明$g(x)$在其中一个区间单调,那么必然在$x=1$处取得最值4。因此问题归结为证明$g(x)$在$(0,1]$上单调递增,或证明在$[1,+\infty)$上单调递减。
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 楼主| 发表于 2018-9-7 16:55:29 | 显示全部楼层
本帖最后由 shufubisheng 于 2018-9-7 19:27 编辑
kastin 发表于 2018-9-7 15:45
令$f(x)=(1+1/x)^x$,只需研究 $g(x)=f(x)+f(1/x)$的性质. 不难发现,$g(x)$在变换$x\to 1/x$下保持不变, ...


g(x)在其中一个区间单调————这只是充分条件,但不是必要条件。

反例————y=x(x^2-3)+3 在区间[-3,3]内。

点评

请举个反例  发表于 2018-9-7 19:09
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-9-7 17:51:19 | 显示全部楼层
我在另外一个帖子里面已经说明过了,对于极值点x=1的领域,我们需要首先给出函数的三阶导数绝对值的一个粗糙上界,由此,就可以通过数值计算证明其二阶导数在x=1的领域小于0,于是证明了在领域内x=1的取值是最大值。然后在更大的范围内,我们需要先给出一阶导数绝对值的粗糙上界,由此可以通过数值计算证明那些部分f(x)的最大值也不超过4.
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 楼主| 发表于 2018-9-7 18:14:13 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-9-7 17:51
我在另外一个帖子里面已经说明过了,对于极值点x=1的领域,我们需要首先给出函数的三阶导数绝对值的一个粗 ...

你在那个帖子证明的?望提供网页。
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