素数的子串仍是素数：最大能有多大？

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生活中我们有时候可能有素数强迫症，比如设闹钟我们可能设29分而不是30分。

我在想一种“全素数”，它本身是一个素数，而如果把它当字符串来看，它每个子串所代表的数字也是素数。

这样的素数会多吗？


还可以降低一下要求：它本身是一个素数，从中间任意位置切开两份之后，每一份也都是素数，或者可以暂时称为“伪全素数”？

mathe

https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=290

zeroieme

mathe 发表于 2018-9-8 13:26
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=290

那里是单向剥洋葱，这里是蚯蚓分两段。

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“全素数”显然有限
2,3,5,7,23,37,73,373，没了。
首先，“全素数”除了首位其他各位都只能是3或7
然后，33,77,3737,7373都是合数，也就是说，“全素数”只能变成3,7,37,73,373,737，或者前面加上2或者5
考虑到737=11*67，故“全素数”只能是3,7,37,73,373，或者前面加上2或5
逐个验证，2,3,5,7,23,37,73,373都是“全素数”
然鹅，注意到2+7=9,5+7=12都能被3整除，所以无论对37,73还是373，前面加上2或者5都能被3整除，也就成了合数
所以……十进制的“全素数”只有这么多了。
或许12进制的全素数会有意思些，然而这已经超出题目讨论范畴了

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截半之后还会是素数的……可以先看后一半

1. 13 23 43 53 73 83
   
2. 17 37 47 67 97
   
3. 113 313 613；223 523 823；443 643 743；353 653 853 953；173 373 673 773；283 383 683 883 983
   
4. ……
   
5. 357686312646216567629137

复制代码

根本不用看前一半，已经筛没了
至于符合题意的懒得逐个验证了……反正不多就是了

1. a=[3,7];b=[];mult=10;for(loop=1,23,for(i=1,length(a),s=a[i];for(j=1,9,g=mult*j+s;if(isprime(g),b=concat(b,g))));a=b;b=[];mult=mult*10;print(length(a)))

复制代码

顺便一提，如果看前一半效果更好

1. [23, 29, 31, 37, 53, 59, 71, 73, 79]
   
2. [233, 239, 293, 311, 313, 317, 373, 379, 593, 599, 719, 733, 739, 797]
   
3. [2333, 2339, 2393, 2399, 2939, 3119, 3137, 3733, 3739, 3793, 3797, 5939, 7193, 7331, 7333, 7393]
   
4. [23333, 23339, 23399, 23993, 29399, 31193, 31379, 37337, 37339, 37397, 59393, 59399, 71933, 73331, 73939]
   
5. [233993, 239933, 293999, 373379, 373393, 593933, 593993, 719333, 739391, 739393, 739397, 739399]
   
6. [2339933, 2399333, 2939999, 3733799, 5939333, 7393913, 7393931, 7393933]
   
7. [23399339, 29399999, 37337999, 59393339, 73939133]

复制代码

然后我们甚至可以手筛符合题意的素数

1. 23, 37, 53, 73, 79
   
2. 313, 317, 373, 379,719,797
   
3. 3137, 3797,7193, 7331
   
4. 73331
   
5. 739397

复制代码

……表示比“全素数”多得有限

数论爱好者

你说:还可以降低一下要求：它本身是一个素数，从中间任意位置切开两份之后，每一份也都是素数，或者可以暂时称为“伪全素数”？
首先从中间切开
解题思路先找两个独立的3n+1型素数,拼成一个更大的素数.或者先找两个独立的3n+2型素数,拼成一个更大的素数
举一个32位的例子,在大数时,试验也讲究方法技巧
100000000000000000000000000000049素数
10000000000000000000000000000002197素数
合并变成64位的素数
10000000000000000000000000000004910000000000000000000000000000002197
两位两位的切,2+2,2+4,2+6型素数
31
3167
316717
31671719
31671719然后要一个3位的素数
像这样整下去,要多大有多大,任意找两个不同数位的素数,然后合并成一个更大的素数,当然成功率很低,但总会找到

数论爱好者

从中间任意位置切开两份之后.....
从中间一分为二可以实现很大的,然后有条件的切开可以部分成立.
从任意位置最大可以到373,然后成立的数没有了,全息素数只有4个,一位数不能切开,两位起算