微信抢红包的概率分布

282842712474

假如$N$个人的微信群，由其中某一个人开始发随机红包，总金额为100元（这个金额的具体数字应该不大重要），个数为$N$个。
也就是说，每个人都可以抢到红包，金额随机。

这里假设金额可以是任意位的有理数，不需要精确到“一分钱”。

然后要求抢到金额最多的那个人再次发红包，红包总金额必须为他抢到金额的$K$倍，依然$N$个随机红包，人人有份。
（在任意有理数的情况下，可以保证几乎没有两个人同时最多的情况）

问：当$K$为多少时，各人净收入达到一个动态均衡状态？
即如果不算刚开始的100元支出，那么各人的净收入期望应该为$100/N$ ，此时这个静态分布会是什么。
（只有这样这个游戏才可能无限玩下去）

KeyTo9_Fans

如果要达到动态均衡状态，那么：

　　当$N=1$时，$K=1$；

　　当$N=2$时，$K=e/2\approx 1.359141$；

对于更大的$N$，精确答案比较难计算，

可以先粗略计算一下近似答案（小数点后$4$位数字有效，第$5$-$6$位小数仅供参考）：

1. N        K
   
2. 2         1.359138
   
3. 3         1.770363
   
4. 4         2.198043
   
5. 5         2.631647
   
6. 6         3.067746
   
7. 7         3.505096
   
8. 8         3.942886
   
9. 9         4.380838
   
10. 10         4.818819
    
11. 11         5.256631
    
12. 12         5.694577
    
13. 13         6.132286
    
14. 14         6.569824
    
15. 15         7.007075
    
16. 16         7.444206
    
17. 17         7.881351
    
18. 18         8.318236
    
19. 19         8.754987
    
20. 20         9.191809
    
21. 21         9.628375
    
22. 22         10.064600
    
23. 23         10.500793
    
24. 24         10.936771
    
25. 25         11.373363
    
26. 26         11.809293
    
27. 27         12.245190
    
28. 28         12.680790
    
29. 29         13.117047
    
30. 30         13.552568
    
31. 31         13.987884
    
32. 32         14.423397
    
33. 33         14.859233
    
34. 34         15.294289
    
35. 35         15.729427
    
36. 36         16.165332
    
37. 37         16.600197
    
38. 38         17.035288
    
39. 39         17.470798
    
40. 40         17.905530
    
41. 41         18.340476
    
42. 42         18.775998
    
43. 43         19.210481
    
44. 44         19.645826
    
45. 45         20.080328
    
46. 46         20.514952
    
47. 47         20.950139
    
48. 48         21.384695
    
49. 49         21.820009
    
50. 50         22.253982
    
51. 51         22.689165
    
52. 52         23.123789
    
53. 53         23.558654
    
54. 54         23.992812
    
55. 55         24.427459
    
56. 56         24.861534
    
57. 57         25.296516
    
58. 58         25.731115
    
59. 59         26.165925
    
60. 60         26.599787
    
61. 61         27.034705
    
62. 62         27.468571
    
63. 63         27.903343
    
64. 64         28.337519
    
65. 65         28.771813
    
66. 66         29.206339
    
67. 67         29.639936
    
68. 68         30.075003
    
69. 69         30.509015
    
70. 70         30.942707
    
71. 71         31.377402
    
72. 72         31.811750
    
73. 73         32.245541
    
74. 74         32.680302
    
75. 75         33.114362
    
76. 76         33.547838
    
77. 77         33.982574
    
78. 78         34.416184
    
79. 79         34.850375
    
80. 80         35.284756
    
81. 81         35.718545
    
82. 82         36.152887
    
83. 83         36.586779
    
84. 84         37.020968
    
85. 85         37.455354
    
86. 86         37.889208
    
87. 87         38.323042
    
88. 88         38.756465
    
89. 89         39.191439
    
90. 90         39.625015
    
91. 91         40.059004
    
92. 92         40.492812
    
93. 93         40.926466
    
94. 94         41.361140
    
95. 95         41.794613
    
96. 96         42.228592
    
97. 97         42.662206
    
98. 98         43.096638
    
99. 99         43.530008
    
100. 100         43.963620

复制代码

lsr314

“每个人都可以抢到红包，金额随机”这句话可以有两个解释，以$N=2$为例（假设红包总金额为$1$）:
第一种分配方法是在$(0,1)$之间选一个实数$x$，第一个人得$x$，第二个人得$1-x$;
另一种分配方法是两个人在$(0,1)$之间各选取一个实数，记为$x,y$,第一个人得$x/(x+y)$，第二个人得$y/(x+y)$。
这两种情况下,最大值的分布函数是不一样的，希望楼主明确一下。

mathe

会均衡吗？直觉会波动很大

282842712474

mathe 发表于 2018-10-24 17:17
会均衡吗？直觉会波动很大

会的，而且可以容易断定$K\in [1, N]$。

比如$K=1$，那么拿最多的那个人把全部钱都发出来，这样子每次发的红包越来越小，最终发的红包总金额趋于0，各人的收益不均衡；

比如$K=N$，因为拿最多的那个人拿的钱肯定不少于$100/N$，所以他这次要发出的钱就不少于$100$了，这样每个人发出来的钱越来越多，整个系统是不平衡的。

=======

直觉上，只需要算出领到最多的那个人的钱的期望，然后100除以这个期望就等于$K$。
例如两个人时，最多的那个人至少有50块钱，至多100块钱，均匀的，所以均值是75块钱，那么$K\approx 100/75\approx 1.33$。
跟#2是结果接近。

282842712474

lsr314 发表于 2018-10-24 15:41
“每个人都可以抢到红包，金额随机”这句话可以有两个解释，以$N=2$为例（假设红包总金额为$1$）:
第一种 ...

在(0,1)中随机选N-1个点，然后划分为N段作为相应的的比例。

我觉得这个比较合理吧。其实我也在想微信的随机红包是什么分配原则...

lsr314

282842712474 发表于 2018-10-24 17:26
在(0,1)中随机选N-1个点，然后划分为N段作为相应的的比例。

我觉得这个比较合理吧。其实我也在想微信 ...

问题是你怎么随机选这N-1个点？

mathe

k太小会收敛到不均匀情况，k太大显然不平衡，但是临界点我觉得也是不平衡的

282842712474

lsr314 发表于 2018-10-24 18:11
问题是你怎么随机选这N-1个点？

这N-1个点没有约束的呀，随便选N-1个点均匀随机数？

wayne

微信红包并不是均匀分布，因为 要保证人人有钱可分，即不能出现 最后一个人没钱可分的情况，同时注意到微信红包数不是连续量，而是离散量。

毕啸天 通过发几亿个微信红包测试，发现了 微信红包的规律。
每个人当前能抢到的金额服从一个0.01到当前剩余均值两倍的左开右闭区间的均匀分布
https://www.bilibili.com/video/av16787449，视频 16:30开始给出答案