微信抢红包的概率分布

282842712474 · 发表于 2018-10-24 12:58:03

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假如$N$个人的微信群，由其中某一个人开始发随机红包，总金额为100元（这个金额的具体数字应该不大重要），个数为$N$个。
也就是说，每个人都可以抢到红包，金额随机。

这里假设金额可以是任意位的有理数，不需要精确到“一分钱”。

然后要求抢到金额最多的那个人再次发红包，红包总金额必须为他抢到金额的$K$倍，依然$N$个随机红包，人人有份。
（在任意有理数的情况下，可以保证几乎没有两个人同时最多的情况）

问：当$K$为多少时，各人净收入达到一个动态均衡状态？
即如果不算刚开始的100元支出，那么各人的净收入期望应该为$100/N$ ，此时这个静态分布会是什么。
（只有这样这个游戏才可能无限玩下去）

KeyTo9_Fans · 发表于 2018-10-24 13:24:13

如果要达到动态均衡状态，那么：

　　当$N=1$时，$K=1$；

　　当$N=2$时，$K=e/2\approx 1.359141$；

对于更大的$N$，精确答案比较难计算，

可以先粗略计算一下近似答案（小数点后$4$位数字有效，第$5$-$6$位小数仅供参考）：

N K
2 1.359138
3 1.770363
4 2.198043
5 2.631647
6 3.067746
7 3.505096
8 3.942886
9 4.380838
10 4.818819
11 5.256631
12 5.694577
13 6.132286
14 6.569824
15 7.007075
16 7.444206
17 7.881351
18 8.318236
19 8.754987
20 9.191809
21 9.628375
22 10.064600
23 10.500793
24 10.936771
25 11.373363
26 11.809293
27 12.245190
28 12.680790
29 13.117047
30 13.552568
31 13.987884
32 14.423397
33 14.859233
34 15.294289
35 15.729427
36 16.165332
37 16.600197
38 17.035288
39 17.470798
40 17.905530
41 18.340476
42 18.775998
43 19.210481
44 19.645826
45 20.080328
46 20.514952
47 20.950139
48 21.384695
49 21.820009
50 22.253982
51 22.689165
52 23.123789
53 23.558654
54 23.992812
55 24.427459
56 24.861534
57 25.296516
58 25.731115
59 26.165925
60 26.599787
61 27.034705
62 27.468571
63 27.903343
64 28.337519
65 28.771813
66 29.206339
67 29.639936
68 30.075003
69 30.509015
70 30.942707
71 31.377402
72 31.811750
73 32.245541
74 32.680302
75 33.114362
76 33.547838
77 33.982574
78 34.416184
79 34.850375
80 35.284756
81 35.718545
82 36.152887
83 36.586779
84 37.020968
85 37.455354
86 37.889208
87 38.323042
88 38.756465
89 39.191439
90 39.625015
91 40.059004
92 40.492812
93 40.926466
94 41.361140
95 41.794613
96 42.228592
97 42.662206
98 43.096638
99 43.530008
100 43.963620

复制代码

lsr314 · 发表于 2018-10-24 15:41:41

本帖最后由 lsr314 于 2018-10-24 16:14 编辑

“每个人都可以抢到红包，金额随机”这句话可以有两个解释，以$N=2$为例（假设红包总金额为$1$）:
第一种分配方法是在$(0,1)$之间选一个实数$x$，第一个人得$x$，第二个人得$1-x$;
另一种分配方法是两个人在$(0,1)$之间各选取一个实数，记为$x,y$,第一个人得$x/(x+y)$，第二个人得$y/(x+y)$。
这两种情况下,最大值的分布函数是不一样的，希望楼主明确一下。

mathe · 发表于 2018-10-24 17:17:41

会均衡吗？直觉会波动很大

282842712474 · 发表于 2018-10-24 17:24:26

mathe 发表于 2018-10-24 17:17
会均衡吗？直觉会波动很大

会的，而且可以容易断定$K\in [1, N]$。

比如$K=1$，那么拿最多的那个人把全部钱都发出来，这样子每次发的红包越来越小，最终发的红包总金额趋于0，各人的收益不均衡；

比如$K=N$，因为拿最多的那个人拿的钱肯定不少于$100/N$，所以他这次要发出的钱就不少于$100$了，这样每个人发出来的钱越来越多，整个系统是不平衡的。

=======

直觉上，只需要算出领到最多的那个人的钱的期望，然后100除以这个期望就等于$K$。
例如两个人时，最多的那个人至少有50块钱，至多100块钱，均匀的，所以均值是75块钱，那么$K\approx 100/75\approx 1.33$。
跟#2是结果接近。

282842712474 · 发表于 2018-10-24 17:26:29

lsr314 发表于 2018-10-24 15:41
“每个人都可以抢到红包，金额随机”这句话可以有两个解释，以$N=2$为例（假设红包总金额为$1$）:
第一种 ...

在(0,1)中随机选N-1个点，然后划分为N段作为相应的的比例。

我觉得这个比较合理吧。其实我也在想微信的随机红包是什么分配原则...

lsr314 · 发表于 2018-10-24 18:11:37

282842712474 发表于 2018-10-24 17:26
在(0,1)中随机选N-1个点，然后划分为N段作为相应的的比例。

我觉得这个比较合理吧。其实我也在想微信 ...

问题是你怎么随机选这N-1个点？

mathe · 发表于 2018-10-24 19:09:13

k太小会收敛到不均匀情况，k太大显然不平衡，但是临界点我觉得也是不平衡的

282842712474 · 发表于 2018-10-24 19:22:58

lsr314 发表于 2018-10-24 18:11
问题是你怎么随机选这N-1个点？

这N-1个点没有约束的呀，随便选N-1个点均匀随机数？

wayne · 发表于 2018-10-25 08:38:29

微信红包并不是均匀分布，因为要保证人人有钱可分，即不能出现最后一个人没钱可分的情况，同时注意到微信红包数不是连续量，而是离散量。

毕啸天通过发几亿个微信红包测试，发现了微信红包的规律。
每个人当前能抢到的金额服从一个0.01到当前剩余均值两倍的左开右闭区间的均匀分布
https://www.bilibili.com/video/av16787449，视频 16:30开始给出答案

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