代数数、三角函数以及 $\pi$ 的几个猜想

zeroieme · 发表于 2018-12-6 13:35:01

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猜想1、设$x$是代数数，$\tan (\pi x)$是代数数。
猜想2、设$x$是代数数，$\pi \tan (x)$是代数数。
猜想3、设$x$是代数数，$\frac{\tan ^{-1}(x)}{\pi }$是代数数。
猜想4、设$x$是代数数，$\tan ^{-1}\left(\frac{x}{\pi }\right)$是代数数。

mathe · 发表于 2018-12-6 13:50:10

1,3显然正确，2，4显然错误

zeroieme · 发表于 2018-12-6 15:06:17

mathe 发表于 2018-12-6 13:50
1,3显然正确，2，4显然错误

是否存在某个常数$\rho$，猜想2与猜想4把$\pi$置换为$\rho$之后能成立？

hejoseph · 发表于 2018-12-6 15:55:42

如果猜想1正确，那么 $\tan(\sqrt 2\pi)$ 是哪个整系数代数方程的根？

mathe · 发表于 2018-12-6 17:46:20

第一个应该是x是有理数才行

mathe · 发表于 2018-12-6 18:27:21

tan(pi x)在x是非有理代数数时是超越数
这个问题本质上和exp(i pi x)的超越性等价，而后者可以写成exp(i pi/n)^(nx).根据希尔伯特第七问题结论是一个超越数
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Gelfond%E2%80%93Schneider_theorem

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