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[提问] 求1/a+1/b=1/c的整数解

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发表于 2018-12-15 16:06:17 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如题,求满足gcd(a,b,c)=1,0<a<b的整数解。我知道一个解:
1/10+1/15=1/6
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-12-15 17:36:20 | 显示全部楼层
最简单的:1/2=1/3+1/6,不满足吗?
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 楼主| 发表于 2018-12-15 17:37:51 | 显示全部楼层
gxqcn 发表于 2018-12-15 17:36
最简单的:1/2=1/3+1/6,不满足吗?

汗,我可能记错题目了,反正它给的一个例子是我题目中这个
但应该不至于如此简单
1/n=1/(n+1)+1/(n^2+n)

点评

嗨!这公式 1/n = 1/(n+1)+1/(n^2+n) 不是很好吗?!  发表于 2018-12-15 18:20
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发表于 2018-12-15 18:27:09 来自手机 | 显示全部楼层
通解为(u,v)=1, u<v,  a=(u+v)u, b=(u+v)v, c=uv

点评

秒杀了  发表于 2018-12-15 20:03
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-12-16 12:12:05 | 显示全部楼层
方程变形为
$(a-c)(b-c)=c^2$
设`\gcd(a-c,b-c)=k`, 那么可设`a-c=ku^2,b-c=kv^2,\gcd(u,v)=1`,
则 `c=kuv,a=ku(u+v),b=kv(u+v)`
由`\gcd(a,b,c)=1`得`k=1`, 最终得通解公式
`c=uv,a=u(u+v),b=v(u+v),\gcd(u,v)=1`
可见,对`c`分解互素因子对就可以了,有多少互素因子对,就有多少解。
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