求1/a+1/b=1/c的整数解

manthanein

如题，求满足gcd(a,b,c)=1，0<a<b的整数解。我知道一个解：
1/10+1/15=1/6

gxqcn

最简单的：1/2=1/3+1/6，不满足吗？

manthanein

gxqcn 发表于 2018-12-15 17:36
最简单的：1/2=1/3+1/6，不满足吗？

汗，我可能记错题目了，反正它给的一个例子是我题目中这个
但应该不至于如此简单
1/n=1/(n+1)+1/(n^2+n)

mathe

通解为(u,v)=1, u<v,  a=(u+v)u, b=(u+v)v, c=uv

mathematica

方程变形为
$(a-c)(b-c)=c^2$
设`\gcd(a-c,b-c)=k`, 那么可设`a-c=ku^2,b-c=kv^2,\gcd(u,v)=1`,
则 `c=kuv，a=ku(u+v),b=kv(u+v)`
由`\gcd(a,b,c)=1`得`k=1`, 最终得通解公式
`c=uv，a=u(u+v),b=v(u+v)，\gcd(u,v)=1`
可见，对`c`分解互素因子对就可以了，有多少互素因子对，就有多少解。