随机连分数的分布函数

lsr314

几年前思考过一个问题，最近有了一点进展，但是离完全解决还是有很大差距，直接看问题：
考虑连分数$phi=1/(1+1/(1+1/(1+…)))=(sqrt(5)-1)/2$
如果将每个分子里的1换成0到1之间的随机数会怎么样？即考虑下面这个式子：
$X=x_1/(1+x_2/(1+x_3/(1+…)))$
由于每个$x_i$都在$(0,1)$之间，所以一旦每个$x_i$都确定，上面的式子是收敛到一个0到1之间的实数的。
问题就是：假如每个$x_i$各自独立,且均服从$(0,1)$之间的均匀分布，求变量$X$的概率密度函数$f(x)$以及概率分布函数$F(x)$。
通过推导，可以得到以下结论：
$0<x<=1/2$时，$f(x)=2-c,F(x)=(2-c)x$,其中$c=int_0^1F(t)dt=1-int_0^1 tf(t)dt$.
$1/2<=x<1$时，$F(x)=1-x int_0^(1/x-1)F(t)dt$.
所以，$X$在$(0,1/2)$之间是服从均匀分布的，在$(1/2,1)$之间的分布则复杂很多，实际上，$f(x)$被分成无穷多个区间，这些区间的端点刚好就是$phi$的渐进分数。
我们定义$a_0=0,a_n=1/(1+a_(n-1))(n>0)$,则${a_n}$的前几项刚好就是$0,1,1/2,2/3,3/5,5/8,\cdots$
从左到右，将$(0,phi)$划分为$(a_0,a_2)(a_2,a_4)(a_4,a_6)\cdots$
从右到左，将$(phi,1)$划分为$(a_3,a_1)(a_5,a_3)(a_7,a_5)\cdots$
则在每个上述小区间上，$f(x)$是一致的.
根据奇偶性，分布函数可以写成下面的递推式：
$F_1(x)=(2-c)x,a_0<x<a_2$

$(1-F_(2n)(x))/x=sum_(i=1)^(n-1)int_(a_(2i-2))^(a_(2i))F_(2i-1)(t)dt+int_(a_(2n-2))^(1/x-1)F_(2n-1)(t)dt,a_(2n+1)<x<a_(2n-1)$

$(1-F_(2n+1)(x))/x=c-sum_(i=1)^(n-1)int_(a_(2i+1))^(a_(2i-1))F_(2i)(t)dt-int_(1/x-1)^(a_(2n-1))F_(2n)(t)dt,a_(2n)<x<a_(2n+2)$

通过以上递推式，我们可以写出任意一个区间的$F(x)$，比如
$2/3<x<1$时，$F(x)=F_2(x)=1 - ((2 - c) (1 - x)^2)/(2 x)$
$1/2<x<3/5$时，$F(x)=F_3(x)=((2 - c) (1 - 6 x + 12 x^2 + 2 x^2 log(1/x - 1)))/(4 x)$
$5/8<x<2/3$时，$F(x)=F_4(x)=1 - ((2 - c) (12 - 38 x + 31 x^2 + (2 - 4 x ) log((2 x - 1)/(1 - x))))/(8 x)$
去掉以上四个区间，仅剩下$(3/5,5/8)$之间的分布函数还没有写出来,越接近$phi$分布函数越复杂,$F_5(x)$已经不能用初等函数表示出来了。

得出以上结论后，我还想知道以下几个问题的答案：

（1）能否求出$E(X)=1-c$的值？数值上看，$E(X)≈0.374$

（2）能否求出$f(phi)$以及$F(phi)$？

（3）理论上，当$n->∞$时，以下程序输出的结果是否依概率收敛于$E(X)$？

1. b[1] = RandomReal[]; Do[b[i + 1] = RandomReal[]/(1 + b[i]), {i, n}]
   
2. Mean[Table[a[i], {i, n}]]

复制代码

附一张分布图，可以看出在上半部分，点是越来越稀疏的，从$F_2(x)$的导函数也不难看出。

mathe

按照定义，有\(F(x)=\int_0^1 du\int_{\max\{0, \frac u x-1\}}^1f(v)dv\)
或者\(F(x)=\int_0^1f(v) dv\int_0^{\min\{1, x(1+v)\}}du=\int_0^1\min\{1,x(1+v)\}f(v)dv\)
所以
\(F(x)=\int_0^{\min\{\frac 1x-1,1\}} x(1+v)f(v)dv+\int_{\min\{\frac 1x-1,1\}}^1f(v)dv\)
所以对于\(x\le\frac12\)有\(F(x)=x\int_0^1 (1+v)f(v)dv=(2-c)x=hx\)
而对于\(x\gt \frac12\)有\(F(x)=x\int_0^{\frac 1x-1} (1+v)f(v)dv+\int_{\frac 1x-1}^1f(v)dv=1-\int_0^{\frac 1x-1}(1-x-xv)f(v)dv\)
所以对于\(x\le\frac12\)有\(F(x)=x\int_0^1 (1+v)f(v)dv=(2-c)x=hx\)
对于\(\frac23\le x\le 1\)有\(F(x)=1-\int_0^{\frac1x-1}(1-x-xv)hdv=1-h(1-x)(\frac1x-1)+h\frac12x(\frac1x-1)^2=1-\frac{h(1-x)^2}{2x}\)和lsr的匹配
另外\(1-\int_0^{\frac 1x-1}(1-x-xv)f(v)dv=1-(1-x-xv)F(v)|_0^{\frac1x-1}-x\int_0^{\frac1x-1}F(v)dv=1-x\int_0^{\frac1x-1}F(v)dv\)

zeroieme

好神奇，还没明白分段、最大、最小是怎么从随机连分数中推导来的。

笨笨

敢问各位高手这个怎么求解

lsr314

一般来说，$F_(2n+1)(x)=(2-c)p_n(x),F_(2n)(x)=1-(2-c)q_n(x)$,通过比较$phi$两边的$F(x)$,可以得出$c$的一个下界:
对于$0< x< phi< y< 1$,由于$F_(2n+1)(x)=(2-c)p_n(x) < F(phi) < F_(2n)(y)=1-(2-c)q_n(y)$,于是$2-c<1/(p_n(x)+q_n(y))$.
并且当$x,y->phi$时,$1/(p_n(x)+q_n(y))$的极限应该就是$2-c$.

lsr314

对$F(x)=1-x int_0^(1/x-1)F(t)dt$两边求导，可以推出$2F(\phi)=\phi f(\phi)+1$.