分母缺数码 0 的调和级数，和不大于 90。

mathe

以缺少0的数的倒数和为例子，我们容易看出，每个缺少0的一位数都乘以10并且分别加上1，2，3，4，5，6，7，8，9可以构成所有缺少0的二位数；
同样，每个缺少0的二位数都乘以10并且分别加上1，2，3，4，5，6，7，8，9可以构成所有缺少0的三位数。
所以我们如果假设所有缺少0的一位数的倒数和为$S_1$,所以缺少0的二位数的倒数和为$S_2$,...,所有缺少0的k位数的倒数和为$S_k$,...
那么必然有$S_2<9/10*S_1,S3<9/10*S_2,...$
由此我们得出一个不等式$\sum_{k=m+1}^{\infty}S_k<\sum_{k=m+1}^{\infty} (9/10)^{k-m} S_m=10S_m$
另外一方面，容易得出$S_k>9/10*S_{k-1}*(1-10^{-k+2})$,所以我们有$\sum_{k=m+1}^{\infty}S_k>10S_m\prod_{k=m}^{\infty}(1-10^{-k+1})$
而其中$\prod_{k=m}^{\infty}(1-10^{-k+1})=\exp(\sum_{k=m}^{\infty}\ln(1-10^{-k+1}))\ge \exp(-\sum_{k=m}^{\infty}\frac{10^{-k+1}}{1-10^{-k+1}})\ge \exp(-\frac{10^{-m+2}}{9(1-10^{-m+1})})$
所以我们得出上面计算过程相对误差不超过$\exp(-\frac{10^{-m+2}}{9(1-10^{-m+1})})$
数值计算可以得到
$S_1=2.8289682539682539682539682539682539683,S_2=2.0655124382745408957257525962931737929,S_3=1.8242536500050954390964439192204499626,S_4=1.6387728694484909082821191050249301243$
所以我们直到缺零数倒数和不超过$S_1+S_2+S_3+10S_4=23.106463036732799385897355819731178967$,而根据误差估计公式得不小于$23.080777775887882411817727440639572393$
如果我们继续计算$S_5=1.4746212004291490687654079625843331466$,得出结果在23.101152021980114312036492913596536947和23.103719215987871899012363500350139314之间
继续计算$S_6=1.3271343914392128484779405004702561267$，得出结果在23.103215620128671703124077214358092826和23.103472326517658764903096841793702262之间
继续计算$S_7=1.1944187303390093614590973211978645577$,得出结果在23.103424436443308790891469415531908694和23.103450106954836743192605549540042699之间

而这种计算方法对于缺其它数字的情况也同样适用

mathe

https://oeis.org/A082839

mathe

https://arxiv.org/pdf/0806.4410.pdf
这个文章给出了计算方法

王守恩

mathe 发表于 2019-2-26 09:32
以缺少0的数的倒数和为例子，我们容易看出，每个缺少0的一位数都乘以10并且分别加上1，2，3，4，5，6，7，8 ...

谢谢mathe！
分母缺数码 “1” 调和级数的和\(\D\  <16.3484684705=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{9^n}{10^n}×\left(\sum_{n=20}^{99}\frac{1}{n}-\sum_{n=2}^{9}\frac{1}{10n+1}\right)+\sum_{n=2}^{9}\frac{1}{n}\)
分母缺数码 “2” 调和级数的和\(\D\  <19.5668571393=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{9^n}{10^n}×\left(\sum_{n=10}^{99}\frac{1}{n}-\sum_{n=20}^{29}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{1}\frac{1}{10n+2}-\sum_{n=3}^{9}\frac{1}{10n+2}\right)+\sum_{n=1}^{9}\frac{1}{n}-\sum_{n=2}^{2}\frac{1}{n}\)
分母缺数码 “3” 调和级数的和\(\D\  <20.9118591115=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{9^n}{10^n}×\left(\sum_{n=10}^{99}\frac{1}{n}-\sum_{n=30}^{39}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{2}\frac{1}{10n+3}-\sum_{n=4}^{9}\frac{1}{10n+3}\right)+\sum_{n=1}^{9}\frac{1}{n}-\sum_{n=3}^{3}\frac{1}{n}\)
分母缺数码 “4” 调和级数的和\(\D\  <21.6793669506=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{9^n}{10^n}×\left(\sum_{n=10}^{99}\frac{1}{n}-\sum_{n=40}^{49}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{3}\frac{1}{10n+4}-\sum_{n=5}^{9}\frac{1}{10n+4}\right)+\sum_{n=1}^{9}\frac{1}{n}-\sum_{n=4}^{4}\frac{1}{n}\)
分母缺数码 “5” 调和级数的和\(\D\  <22.1883839326=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{9^n}{10^n}×\left(\sum_{n=10}^{99}\frac{1}{n}-\sum_{n=50}^{59}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{4}\frac{1}{10n+5}-\sum_{n=6}^{9}\frac{1}{10n+5}\right)+\sum_{n=1}^{9}\frac{1}{n}-\sum_{n=5}^{5}\frac{1}{n}\)
分母缺数码 “6” 调和级数的和\(\D\  <22.5575406742=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{9^n}{10^n}×\left(\sum_{n=10}^{99}\frac{1}{n}-\sum_{n=60}^{69}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{5}\frac{1}{10n+6}-\sum_{n=7}^{9}\frac{1}{10n+6}\right)+\sum_{n=1}^{9}\frac{1}{n}-\sum_{n=6}^{6}\frac{1}{n}\)
分母缺数码 “7” 调和级数的和\(\D\  <22.8415518596=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{9^n}{10^n}×\left(\sum_{n=10}^{99}\frac{1}{n}-\sum_{n=70}^{79}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{6}\frac{1}{10n+7}-\sum_{n=8}^{9}\frac{1}{10n+7}\right)+\sum_{n=1}^{9}\frac{1}{n}-\sum_{n=7}^{7}\frac{1}{n}\)
分母缺数码 “8” 调和级数的和\(\D\  <23.0693505608=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{9^n}{10^n}×\left(\sum_{n=10}^{99}\frac{1}{n}-\sum_{n=80}^{89}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{7}\frac{1}{10n+8}-\sum_{n=9}^{9}\frac{1}{10n+8}\right)+\sum_{n=1}^{9}\frac{1}{n}-\sum_{n=8}^{8}\frac{1}{n}\)
分母缺数码 “9” 调和级数的和\(\D\  <23.2577733651=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{9^n}{10^n}×\left(\sum_{n=10}^{99}\frac{1}{n}-\sum_{n=90}^{99}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{8}\frac{1}{10n+9}\right)+\sum_{n=1}^{8}\frac{1}{n}\)
分母缺数码 “0” 调和级数的和\(\D\  <23.4840926367=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{9^n}{10^n}×\left(\sum_{n=10}^{99}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{9}\frac{1}{10n}\right)+\sum_{n=1}^{9}\frac{1}{n}\)

mathe

缺0的在https://oeis.org/A082839，结果约23.10
缺9的在https://oeis.org/A082838，结果约22.92
缺8的在https://oeis.org/A082837，结果约22.72
缺7的在https://oeis.org/A082836，结果约22.49
缺6的在https://oeis.org/A082835，结果约22.20
缺5的在https://oeis.org/A082834，结果约21.83
缺4的在https://oeis.org/A082833，结果约21.32
缺3的在https://oeis.org/A082832，结果约20.56
缺2的在https://oeis.org/A082831，结果约19.25
缺1的在https://oeis.org/A082830，结果约16.17