拉丁方种数相关问题

kastin

在许多试验设计中常常会用到拉丁方（Latin square），以减少多因素组合爆炸带来的几何级数增长的试验次数。（传统）拉丁方指的是一个由 `n` 个不同元素构成的 `n\times n` 的方阵，每个元素在其所在行和列中仅出现一次。

问：`n` 个不同元素构成的 `n\times n` 拉丁方种类数 `S(n)` 为多少？

若放宽约束条件，则形成非严格的拉丁方—— `n` 阶方阵中只有 `m(2\leqslant m\leqslant n-1)`个元素，且满足其所在行和所在列中至少出现一次，求其种类个数 `S(n,m)`.

很明显，构造出一个传统的拉丁方后，可以通过调换任意两行或两列就能得到新的拉丁方阵。循环调换则相当于对矩阵进行旋转、镜像操作。

因此，对于上述传统拉丁方和非严格拉丁方，如果将旋转后重合的拉丁方只算作同一种，问结果如何？若还将镜像后重合的也算作同一种，问结果如何？


进一步探究：
继续添加约束条件，则形成更特殊的拉丁方，比如：平衡拉丁方（每个元素相等频率地先于或跟随于其他元素，即消除顺序效应）、正交拉丁方（两个同阶拉丁方构成有序数对方阵，正交指的是它们其中一个经过有限次旋转和镜像对称后不重合）。正交拉丁方中还有一类特殊的自正交拉丁方（拉丁方与自身转置后正交）。问这三种特殊的`n` 阶拉丁方有多少种？（现已知道，除去`n=2,6`外， 正交拉丁方都存在；除去 `n=2,3,6` 外，自正交拉丁方都存在）

mathe

https://oeis.org/A003090
https://oeis.org/A000315
https://oeis.org/A002860
https://oeis.org/A040082
https://oeis.org/A000528
https://oeis.org/A000479